Система Orphus

Система Orphus

Матрицы Дирака и их свойства

Для определения вида этих матриц обратимся к оператору \hat{H}^2:

(-i\hbar c\alpha_i\nabla_i+\beta mc^2)(-i\hbar c\alpha_j\nabla_j+\beta mc^2)=
=\hbar^2c^2\alpha_i\alpha_j\nabla_i\nabla_j-i\hbar mc^3(\alpha_i\beta+\beta\alpha_i)\nabla_i+m^2c^4\beta^2.

Первое слагаемое в правой части удобно переписать в симметризованнной форме:

\alpha_i\alpha_j\nabla_i\nabla_j=\frac{\alpha_i\alpha_j\nabla_i\nabla_j+\alpha_j\alpha_i\nabla_j\nabla_i}{2}=\frac{\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i}{2}\nabla_i\nabla_j.

Таким образом, требуемое равенство

\hat{H}^2=-\hbar^2c^2\Delta+m^2c^4

имеет место, если матрицы-коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

\begin{cases}
\frac{\alpha_i\alpha_j-\alpha_j\alpha_i}{2}=\delta_{ij},\\
\beta^2=1,\\
\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0.
\end{cases}

Воспользуемся, далее, тем, что оператор Гамильтона

\hat{H}=c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta m c^2

является эрмитовым. Это означает, что матрицы \alpha_i и \beta также должны быть эрмитовыми:

\alpha^{+}_i=\alpha_i,~~~~\beta^{+}=\beta.

Напомним, что любая эрмитовая матрица всегда может быть диагонализована с помощью подходящей унитарной матрицы. Следующее наблюдение состоит в том, что согласно первым двум условиям системы,

\begin{cases}
\alpha)i^2=1,\\
\beta^2=1,
\end{cases}

собственными значениями матриц \alpha_i и \beta являются числа \pm 1.

Покажем, что след матриц Дирака равен нулю. Напомним, что след матрицы A,

\mathrm{Sp}~A=\sum_{i}A_{ii},

Итак, домножая

\alpha_i\beta=-\beta\alpha_i

слева на матрицу \beta, получаем:

\beta\alpha_i\beta=-\beta\beta\alpha_i=\alpha_i

Следовательно:

\mathrm{Sp}(\alpha_i)=-\mathrm{Sp}(\alpha_i)\to \mathrm{Sp}(\alpha_i)=0.

Аналогично \mathrm{Sp}(\beta)=0..

Также можно сделать вывод, что матрицы Дирака имеют четную размерность.


Барабанов-1 стр 21


Система Orphus

Комментарии