Система Orphus

Система Orphus

Интегральное уравнение для задачи рассеяния

Общее решение уравнения Шредингера

\psi(\bold{r})=\psi_{0}(\bold{r})+\psi_{1}(\bold{r}),

принимает вид:

\psi(\bold{r})=\psi_{0}(\bold{r})-\frac{1}{4\pi}\frac{2m}{\hbar^2}\int\frac{e^{ik|\bold{r}-\bold{r}'|}}{|\bold{r}-\bold{r}'|}U(\bold{r}')\psi(\bold{r}')d^3 r'.

Это решение является, конечно, формальным. В самом деле под интегралом в правой части стоит та же неизвестная функция \psi(\bold{r}), что и в левой части. Поэтому правильнее было бы сказать, что мы выполнили переход от дифференциального уравнения Шредингера к эквивалентному интегральному уравнению.

Заметим, что подынтегральное выражение в правой части отлично от нуля только в области, где r'<a. Следовательно

r'<a\ll r при r\to\infty,

т.е. при переходе к асимптотике r\to\infty возникает малый параметр r'/r. Разложение по этому малому параметру дает:

|\bold{r}-\bold{r}'|\simeq r-\bold{r}'\bold{n},~~~\bold{n}=\frac{\bold{r}}{r},

и

\frac{e^{ik|\bold{r}-\bold{r}'|}}{|\bold{r}-\bold{r}'|}\simeq \frac{e^{ikr-ik\bold{r}'\bold{n}}}{r}.

Мы пренебрегаем всеми слагаемыми в волновой функции, которые с ростом r падают быстрее, чем 1/r.

Итак, волновая функция \psi(\bold{r}) в асимптотике принимает вид:

\psi(\bold{r})|_{r\to\infty}=\psi_0(\bold{r})-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\frac{e^{ikr}e^{-ik\bold{r}'\bold{n}}}{r}U(\bold{r}')\psi(\bold{r}')d^3 r'=
\psi_0(\bold{r})-\frac{e^{ikr}}{r}\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int e^{-ik\bold{r}'\bold{n}}U(\bold{r}')\psi(\bold{r}')d^3 r'.

Ранее мы предположили, что волновая функция в асимптотике должна иметь следующую форму:

\psi(\bold{r})|_{r\to\infty}=e^{i\bold{kr}}+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r}.

Легко видеть, что, взяв в качестве решения \psi_0 однородного уравнения плоскую волну,

\psi_0(\bold{r})=e^{i\bold{kr}},

мы получаем точно то, что и ожидали. При этом амплитуда рассеяния определяется следующей формулой:

f(\theta,\varphi)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int e^{-ik\bold{n}\bold{r}'}U(\bold{r}')\psi(\bold{r}')d^3r'.

Таким образом, мы осуществили переход от исходного дифференциального уравнения Шредингера к интегральному уравнению следующего вида:

\psi(\bold{r})=e^{i\bold{kr}}-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int \frac{e^{-ik|\bold{r}-\bold{r}'|}}{|\bold{r}-\bold{r}'|}U(\bold{r}')\psi(\bold{r}')d^3 r'

В асимптотике r\to\infty решение этого уравнения имеет требуемый вид. Само уравнение называют интегральным уравнением теории рассеяния.


Барабанов 2 стр 87


Система Orphus

Комментарии