Система Orphus

Система Orphus

Состояния физической системы как векторы гильбертового пространства

Основу формализма квантовой механики составляет введение некоторого абстрактного пространства векторов, описывающих чистые состояния. Такие пространства являются обобщением на бесконечномерный случай евклидового пространства и называются гильбертовыми пространствами L^{1}.

Если квантовая система имеет n ортогональных состояний \Psi_{n}, то состояние такой системы будет представлено вектором в n - мерном гильбертовом пространстве. Выбранные n состояний формируют ортогональный базис векторного пространства. Тогда состояние физической системы \Psi(t) в любой момент времени t будет определяться вектором |\Psi(t)\rangle.

\Psi=\sum a_n\Psi_n \to |\Psi\rangle=\sum a_n|n\rangle=\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
\vdots\\
a_n
\end{pmatrix}

Очевидно, что собственному состоянию \Psi_n будет соответствовать вектор, у которого от нуля будет отличен только n - й компонент.

Любая функция может быть представлена в виде набора ортогональных, поэтому все функции f образуют гильбертово пространство. Но в нашем случае физический смысл имеют только квадратично интегрируемые комплексные функции \Psi, квадрат модуля которых в области определения образуют сходящийся интеграл

\int |\Psi|^2 d\xi < \infty.

Такие функции образуют векторное подпространство, обозначаемое в математике L_2. Обычно, когда в физике упоминается "гильбертово пространство", имеется в виду именно L_2. Поскольку введенные таким образом векторы соответствуют функциям, в большинстве случаев образованных бесконечным набором ортогональных базисных функций, то обычно они оперируют в бесконечномерных пространствах.


Система Orphus

Комментарии