Система Orphus

Система Orphus

Найти в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния частиц кулоновским полем

Было показано, что рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение. Это возможно при выполнении двух условий:

|U|<<\frac{\hbar^2}{ma^2}

или

|U|<<\frac{\hbar v}{a}=\frac{\hbar^2}{ma^2}ka,

где a - радиус действия поля U(r), a U - порядок его величины в основной области его существования. При выполнении первого условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях. Из второго же видно, что оно во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц.

В соответствии с 45 ищем волновую функцию в виде \psi=\psi^{(0)}+\psi^{(1)}, где \psi^{(0)}=e^{i\vec{k}\vec{r}} соответствует падающей частице с волновым вектором \vec{k}=\frac{\vec{p}}{\hbar}. Из формулы (45.3) имеем

\psi^{(1)}(x,y,z)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int U(x',y',z')e^{i(\vec{k}\vec{r}'+kR)}\frac{dV'}{R}.

Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, введем радиус-вектор \vec{R}_0 в точку наблюдения \psi^{(1)} и обозначим через \vec{n}' единичный вектор в направлении \vec{R}_0. Пусть радиус- вектор элемента объема dV' есть \vec{r}', тогда \vec{R}=\vec{R}_0-\vec{r}'. На больших расстояниях от центра R_0>>r', так что

R=|\vec{R}_0-\vec{r}'|\approx R_0-\vec{r}'\vec{n}'

Подставив это, получим следующее асимптотическое выражение для \psi^{(1)}:

\psi^{(1)}\approx -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\frac{e^{ikR_0}}{R_0}\int U(\vec{r}')e^{i(\vec{k}-\vec{k}')\vec{r}'}dV'

где \vec{k}'=k\vec{n}' - волновой вектор частицы после рассеяния. Сравнивая с определением амплитуды рассеяния, получим для нее выражение

f=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int Ue^{-\vec{q}\vec{r}}dV,

в котором мы произвели переобозначение переменных интегрирования и ввели вектор

\vec{q}=\vec{k}'-\vec{k}

с абсолютной величиной

q=2k\sin\frac{\theta}{2},

где \theta - угол между \vec{k} и \vec{k}', т.е. угол рассеяния.

Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, получим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла d0:

d\sigma=\frac{m^2}{4\pi^2\hbar^4}\left|\int Ue^{-i\vec{q}\vec{r}}dV\right|^2do

г) U(r)=\frac{\alpha}{r^2}

f=-\frac{\pi m\alpha}{\hbar^2 q}=-\frac{\pi m \alpha}{2\hbar^2 k\sin(\theta/2)}

Полное сечение рассеяния бесконечно, что связано с достаточно медленным убыванием потенциала на больших расстояниях;

\frac{d\sigma}{d\Sigma}=|f|^2=\frac{\pi^2 m a^2}{8\hbar^2 E \sin^2(\theta/2)}

Источники

Ландавшиц стр.619 Галичкий 2 стр.159


Система Orphus

Комментарии