Система Orphus

Система Orphus

Записать уравнение Шредингера для двух частиц с массами m1 и m2 взаимодействующих по закону U(r1-r2), а в системе центра масс.

Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с массами m_1, m_2), взаимодействующих по закону U(r)(r - расстояние между частицами), имеет вид

\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_1}\Delta_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\Delta_2+U(r),

где \Delta)1, \Delta_2 - операторы Лаппласа по координатам частиц. Введем вместо радиус-векторов частиц \bold{r}_1 и \bold{r}_2 новые переменные \bold{R} и \bold{r}:

\bold{r}=\bold{r}_2-\bold{r}_1,~~\bold{R}=\frac{m_1\bold{r}_1+m_2\bold{r}_2}{m_1+m_2};

\bold{r} - вектор взаимного расстояния, а \bold{R} - радиус-вектор центра инерции системы. Простое вычисление приводит к результату;

\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\Delta_R-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+U(r)

Таким образом Гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать \psi(\bold{r}_1,\bold{r}_2) в виде произведения \varphi(\bold{R})\psi(\bold{r}), где функция \varphi(\bold{R}) описывает движение центра инерции, а \psi(\bold{r}) описывает относительное движение частиц.


Ландавшиц стр 133


Система Orphus

Комментарии