Система Orphus

Система Orphus

Число состояний, плотность числа состояний и статическая энтропия для равновесной замкнутой системы идеального газа

Рассмотрим однородную замкнутую систему, в которой объем и число частиц заданы, а остальные интегралы движения, такие как импульс, момент импульса, магнитный и электрический момент равны нулю.

Тогда все термодинамические величины зависят только от энергии E и задача статистической физики сводится к установлению явного вида этой зависимости.


Число состояний в интервале от минимального значения энергии до E:

\Gamma\equiv\sum_{\alpha}\theta(E-E_{\alpha}).

Плотность числа состояний:

\frac{d\Gamma}{dE}\equiv\delta(E-E_{\alpha}).

В статистической физике энтропия определяется как логарифм числа состояний

\sigma(E)=\ln \Gamma(E)

Система идеального газа - N частиц в объеме V.

Состояние системы характеризуется точкой в 6N - мерном фазовом пространстве

\alpha=\alpha(\bold{r}_1,\ldots,\bold{r}_N;\bold{p}_1,\ldots,\bold{p}_N;)

Согласно правилу Бора-Зоммерфельда дифференциал числа состояний выражается формулой:

d\Gamma_\alpha=\frac{1}{N!}\prod^N_{i=1}\frac{d^3r_id^3p_i}{(2\pi\hbar)^3}.

Энергия всей системы выражается формулой

E_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\frac{p_i^2}{2m}

Полное число состояний системы с энергией не превышающей E выражается формулой

\Gamma(E)=\int d\Gamma_\alpha\theta(E-E_\alpha)=\frac{1}{N!}\int \prod^N_{i=1}\frac{d^3r_id^3p_i}{(2\pi\hbar)^3}\theta\left(E-\sum_{i=1}^{N}\frac{p^2_i}{2m}\right).

Интегрирование по пространственным координатам каждой частицы дает объем V, и с учетом формулы Стильтиеса получаем

\Gamma(E)=\left(\frac{Ve}{N(2\pi\hbar)^3}\right)^N J_{3N}(E),

где

J_{3N}(E)=\int\prod^N_{i=1}d^3p_i\theta\left(E-\sum_{i=1}^{N}\frac{p_i^2}{2m}\right)

Введем обозначение E=P^2/2m, сократим в аргументе \theta-функции множитель 1/2m, и перепишем интеграл (57) в форме объема 3N - мерного шара радиуса P:

J_{3N}(E)=V_{3N}(P)=\int d^{3N}p\theta\left(P^2-\sum_{i=1}^{N}p_i^2\right).

Объем многомерного шара равен

V_{n}(R)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}R^n\approx \left(\frac{2e\pi R^2}{n}\right)^{n/2}.

Используя эту формулу, находим логарифм числа состояний (56), т.е статистическую энтропию идеального газа:

\sigma(E)=\ln \Gamma(E)=N\ln\left[\frac{Ve}{N(2\pi\hbar)^3}\left(\frac{4\pi emE}{3N}\right)^{n/2}\right].

Система Orphus

Комментарии