Система Orphus

Система Orphus

Изинговский ферромагнетик в приближении самосогласованного поля

Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.

Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или -1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из 2^N возможных вариантов расположения спинов (где N — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j \, ,

где J — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле h (часто полагаемое малым):

E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j - h \sum_i S_i. \,

Затем, для заданной обратной температуры  \beta=1/k_B T на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной  e^{-\beta E(S)} \, , и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов N.

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования, ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.

Введенная изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стеклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т.д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.

Гамильтониан одномерной задачи Изинга в нулевом магнитном поле имеет вид

H=-J\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_{j}\sigma_{j+1},~~~~\sigma=\pm 1

Тогда статсумма запишется

Z_N=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_{N-1}=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N-2}\sigma_j\sigma_{j+1}\right)\sum_{\sigma_{N}}\exp\left(K\sigma_{N-1}\sigma_N\right)

Поскольку

\sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sigma_{N-1}\sigma_N\right)=2\mathrm{ch} K,

то

Z_N=Z_{N-1}(2\mathrm{ch} K)=Z_2(2\mathrm{ch} K)^{N-2}

но

Z_2=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\sum_{\sigma_2=\pm 1}\exp\left(K\sigma_{N-1}\sigma_N\right)=4\mathrm{ch}K.

Поэтому

Z_N=2(2\mathrm{ch}K)^{N-1}

Свободная энергия имеет вид

F=-T\ln Z=-NT\ln(2\mathrm{ch}K)

Соответственно энергия и теплоемкость имеют вид

E=\frac{\partial}{\partial \frac{1}{T}}\left(\frac{F}{T}\right)=-NJ\mathrm{th}\frac{J}{T}
C=\frac{\partial E}{\partial T}=\frac{NJ^2/T^2}{\mathrm{ch}^2\frac{J}{T}}

В пределе высоких и низких температур C\to 0.

В присутствии магнитного поля статсумма

Z=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1}+\mu_0 H\sum_{j=1}^{N}\sigma_j\right)

непосредственно вычислена быть не может. Удобно отождествить 1-й и N-й узлы. В макроскопическом пределе это не сказывается на термодинамических свойствах системы.

Для расчета статсуммы введем матрицу P второго порядка с матричными элементами

P(\sigma_j,\sigma_{j+1})=\exp(K\sigma_j\sigma_{j+1}+\mu_0 H\sigma_j).

Здесь \sigma=\pm 1 определяет две строки, а \sigma_{j+1}=\pm 1 два столбца матрицы P. Тогда

P=\begin{Vmatrix} \exp(K+M) & \exp(-K+M) \\ \exp(-K-M) & \exp(K-M) \end{Vmatrix}

Обозначим матричные элементы через P(\sigma,\sigma^'). Это позволяет записать статсумму в виде

Z=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1}P(\sigma_1,\sigma_2)P(\sigma_2,\sigma_3)\ldots\sum_{\sigma_{N}=\pm 1}P(\sigma_{N-1},\sigma_N)P(\sigma_N,\sigma_1)=\mathrm{Sp}P^N=\sum_{j}\lambda_j^N,

где \lambda_j - собственные значения матрицы P. Секулярное уравнение для нахождения \lambda_j имеет вид

(\exp(K+M)-\lambda)(\exp(K-M)-\lambda)=e^{-2K}

которое переписывается в виде

\lambda^2-2\lambda\exp K\mathrm{ch}M-e^{-2K}=0

Откуда

\begin{Vmatrix}\lambda_1\\lambda_2\end{Vmatrix}=e^K\mathrm{ch}M\pm(e^{2K})\mathrm{ch}M\pm (e^{2K}\mathrm{sh}^2M+e^{-2K})^{1/2}.

При N\to\infty в окончательном выражении для статсуммы (58) следует остановить только больше \lambda_{\max}. Поэтому

Z=\lambda_{\max}^{N}

свободная энергия дается выражением

F=-TN\ln\lambda_{\max}

Знание свободной энергии полностью решает поставленную термодинамическую задачу. Например, намагниченность на один узел равна

\frac{M}{N}=-\frac{\partial F}{\partial H}=-T\frac{\partial \ln\lambda_{\max}}{\partial H}.

Михеенков 170


Система Orphus

Комментарии