Orphus

18. Свободные гармонические колебания. Примеры гармонических осцилляторов. Фазовые траектории гармонического осциллятора.

Колебательное движение – точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение в одном направлении. Пример гармонического колебания – изменение координаты точки при равномерном движении по окружности:

x=Acos(wt+b), A – амплитуда, w – циклическая частота, b – начальная фаза, wt+b – фаза колебания. T=2pi/w – период колебания. v = -wAsin(wt+b), a=-w2x, F=-mw2x – сила, действующая на материальную точку, направлена к положению равновесия.

Колебания – это повторяющийся или примерно повторяющийся во времени процесс. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, в отсутствие внешней периодической силы. Гармоническими называют колебания, происходящие по закону x(t) = Asin(wt + f), где w – циклическая частота, f – начальная фаза колебаний.

Осциллятор – система, совершающая колебания. Гармоническими осцилляторами, например, являются:

- Груз, совершающий горизонтальные колебания на плоскости, закреплённый на пружине, без трения. mx’’ = - kx; x’’ + k/m x = 0 – дифференциальное уравнение гармонических колебаний, все его решения представимы в виде x(t) = Asin(wt + f).

- Такой же груз, подвешенный на пружине

- Малые колебания математического маятника (груза на нити).

x – угол отклонения от вертикали. ma = -mgsinx; sin x ~= x;

a = x’’l (l – длина нити); x’’ + g/l x = 0.

Фазовые траектории гармонического осциллятора – эллипсы.

Например:

S(t) = Ssinwt

V(t) = Swcos wt

S(t)^2 + V(t)^2/w^2 = 2E/mw^2; E = const