Orphus

33. Момент инерции тела относительно оси. Связь моментов инерции тела относительно трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей.

Если материальная точка вращается по окружности радиуса r, то момент её импульса относительно оси вращения L=mvr=mr2w, w – угловая скорость. Для системы точек L=сумма mr2w, L=Iw, I=сумма mr2 – момент инерции. При вращении системы момент импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость. Момент импульса точки зависит от её скорости линейно. Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси d(Iw)/dt=M, M – момент внешних сил относительно оси вращения. L=Iw – вращательный импульс системы. Производная вращательного импульса по времени равна моменту внешних сил. I dw/dt=M (для неизменной системы).

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела K=1/2 сумма mv2 = 1/2 сумма m(wr)2 = Iw2/2=L2/2I.

Момент инерции относительно точки: (сумма) mR2. Рассмотрим материальную точку с массой m относительно прямоугольной системы координат, координаты точки x,y,z. Квадраты расстояний до координатных осей X,Y,Z соответственно y2+z2, z2+x2, x2+y2, моменты инерции I_x=m(y2+x2) и аналогично, а сумма моментов инерции I_x+I_y+I_z=2m(x2+y2+z2)=2кси, кси – момент инерции относительно точки.

В случае плоского распределения масс Iz=кси, Ix+Iy=Iz.