Orphus

34. Соотношение Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел.

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей О и А. Радиус-вектор точки r и r’ соответственно, а=ОА (вектор), r’=r-a, r2=r2+a2-2(ar). sum r2 dm = sum r2dm + a2 sum dm – 2(a sum r dm). sum r dm = mR_c, где R_c – радиус-вектор центра масс относительно О. I_A=I_O+ma2-2m(aRc). Если ось О проходит через центр масс тел, то I_a=I_c+ma2 – теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma2, где а – расстояние между осями.

I=sum r2 dm. В общем случае I=kml2, l – характерный размер, k зависит от формы тела.

1. Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. А – ось, проходящая через конец стержня, С – через центр. I_a=kml2, I_a=I_c+m(l/2)2. С другой стороны, как сумма моментов двух стержней I_c=km(l/2)2. kml2=km(l/2)2+m(l/2)2. I_a=ml2/3, I_c=ml2/12.

2. Момент инерции однородных прямоугольных пластинки и параллелепипеда. Пусть оси X и Y проходят через центр пластинки и параллельны её сторонам, a и b – длина пластинки по X и Y. Сместим вещество пластинки на ось Y параллельно оси X. Расстояния относительно оси X не изменятся, пластинка перейдет в тонкий стержень, I_x=mb2/12, I_y=ma2/12. I_z=m/12 (a2+b2).

3. Бесконечно тонкое круглое кольцо. I_z=mR2. I_x=I_y=mR2/2 (плоское распределение масс).