Orphus

36. Уравнение плоского движения твёрдого тела. Качение. Скатывание с наклонной плоскости.

AB -> A1B1

OE т AA1

OD т BB1

AO = OA1 => AB можно повернуть, так чтобы А совпало с А1. Пусть B совпало с B2, ОВ1 = ОВ2, А1В1 = А1В2, ОА1 – общее => <А1ОВ2 = < АОВ1 => B2 совпадает с B1. При плоском движении твёрдое тело может быть переведено из любого положение в другое произвольное путём одного поворота вокруг некоторой оси.

Теорема Эйлера. Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положение в другое произвольное положение путём поворота вокруг некоторой оси, проходящей через одну неподвижную точку. Следствие: любое движение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку. С течением времени мгновенная ось непрерывно перемещается, как в теле, так и в пространстве.

V = V0 + [w, r] (для произвольной точки А). w не зависит от положения О. V + V0’ + [w’, r’]; V0 + [w, r] = V0’ + [w’, r’]; r’ = r + R; V0 = V0’ + [w’, R]

V0’ + [w’, R] + [w, r] = V0’ + [w’, r+R]; [w, r] = [w’, r]

w = w’ в силу произвольности r.

Пусть тело вращается вокруг неподвижной точки О.

К = ½ sumV^2*dm V = [w, r]

V^2 = (V, V) = ([w, r], V) – (w, [V, V])

K = ½ w sum [r, V] dm K = ½ (R, w)

L = m[r, V] = m[r, [w, r]] = mV^2w – m(V, w)r.

Скатывание тела с наклонной плоскости.

Качение – отсутствует скольжение.

А – точка касания с плоскостью.

I_A*dw/dt = M_A

V = V_A + wr V_A = 0 V = wr

I_A = dw/dt = mgrsin(alfa)

a = dV/dt = rdw/dt

a = mgr^2*sin(alfa)/I_A = gsin(alfa)/(1 + I_C/mr^2)

C – середина.

md2x/dt2 = - r dx/dtkx или md2x/dt2 + r dx/dt + kx = 0

— дифференциальное уравнение движения материальной точки. Искомая функция x(t) должна обладать следующим свойством: как первая, так и вторая производная по времени от х (t) должны отличаться от самой функции х (t) лишь численными множителями. Такой функцией в самом общем случае является показательная функция с комплексным показателем степени или произведение показательной функции на синус или косинус. Поэтому будем искать решение дифференциального уравнения в виде

х = А0e^(-at) cos (wt + f0)

А0e^(-at) {[m (а^2-w^2)-ra + k] cos (wt + f0) +

+ [m*2аw — гw] sin (сwt -f0)} = 0.

Множители А0e^(-at) здесь можно сократить, так как Aо —постоянная, a e^(-at) ни при каком конечном значении t не обращается в нуль. Оставшееся выражение будет равно нулю при любых значениях t, если порознь будут равны нулю коэффициенты при cos (wt + f0) и sin (wt + f0).

m(а^2—w^2) - ra + k = 0, m*2aw – rw = 0.

Решая эти уравнения, находим:

a = r/2m w = корень(k/m – r^2/4m^2)

амплитуда колебания A(t) = А0e^(-at) является убывающей функцией времени. график зависимости х от t для затухающих колебаний. Пунктиром на этом рисунке изображена зависимость амплитуды от времени, а сплошной линией — полная зависимость. Чем больше коэффициент трения г, тем больше величина а в показателе степени и тем быстрее амплитуда затухающих колебаний убывает со временем. Напротив, при полном отсутствии трения, когда г = 0, то а = 0, e^(-at)=e° = 1, х = A0 cos (wt + f0), и мы придем к уже рассмотренному случаю чисто гармонических колебаний с угловой частотой w = корень(k/m) = w0

При наличии трения не только убывает со временем аамплитуда колебания, но и уменьшается угловая частота колебаний:

w = корень(w0^2 – a^2)

где w0 — угловая частота собственных колебаний точки при отсутствии трения.

С увеличением трения период колебаний возрастает, и при а = w0 период становится бесконечным. При дальнейшем увеличении а период Т становится мнимым, а движение точки — апериодическим. Сопоставим при a < w0

значения амплитуды в два соседние момента времени, отличающиеся друг от друга на один период, т. е. A (t) = А0e^(-at) и A (t+T) = А0e^(-a(t+T))

Тогда получим:

A(t)/A(t + T) = e^(at) = const

т. е. амплитуда затухающих колебаний за каждый период убывает в одно и то же число раз. Натуральный логарифм этого отношения ln(A(t)/A(t + T)) = aT = d

носит название логарифмического декремента затухания.

Материальная точка, на которую действует квазиупругая сила, будучи выведена из положения равновесия х = 0, начнет совершать колебания около этого положения. Из-за наличия сил трения подобные собственные, или, как их иногда называют, свободные колебания точки всегда будут затухающими.

Число циклов, на протяжении которых ​размах колебаний осциллятора ​уменьшается в e = 2.72 раза, равно ​деленному на pi = 3.14 значению его ​добротности Q.

Q = w0/2a

Фазовые траектории осциллятора с затуханием – спирали на плоскости, оканчивающиеся в одной центральной точке. Чем больше добротность, тем больше оборотов спирали будет приходиться на единичную длину радиуса.

Например:

S(t) = Ssinwt

V(t) = Swcos wt

S^2 + V^2/w^2 = 2E/mw^2; E уменьшается, S (амлитуда) уменьшается.