Orphus

1. Вычисление скорости и ускорения при движении материальной точки вдоль плоской кривой.
Положение движущейся точки на траектории задается радиус-вектором r = r(t). Величина v = Dr / Dt называется средней скоростью движения за время между t и t+Dt. Это векторная величина, ее направление совпадает с Dr. Истинная (мгновенная) скорость v = r’ = dr / dt. Это вектор, направленный по касательной к траектории точки. Ускорение – вектор, равный первой производной скорости по времени.
Отложим от произвольной неподвижной точки вектор скорости v(t). Концы векторов образуют годограф скорости. Ускорение направлено по касательной к годографу скорости; ускорение – скорость движения скоростной точки по годографу.
Найдем ускорение точки при равномерном движении по окружности радиуса r. |v| = 2 pi r / T. Годографом скорости будет окружность радиуса v. |a| = 2 pi v / T = v2 / r – центростремительное ускорение. В векторной форме a = -(омега)2 * r, a = (v2 / r) * n.
Представим вектор v = |v| * s, |v| – неизменный модуль, s – направление. Дифференцируем: a = v * ds/dt, ds/dt = v/r * n. Пусть ds – длина пути, проходимого за dt, ds = vdt, ds/ds = 1/r * n – производная единичного вектора касательной по длине дуги окружности. Производная постоянного по модулю вектора по скалярному аргументу есть вектор, перпендикулярный исходному.
Пусть s – единичный вектор касательной к кривой, ds – длина элемента дуги кривой. Производная ds/s – вектор, направленный нормально к кривой в сторону ее вогнутости. Ее можно представить в виде 1/r * n, где 1/r – коэффициент пропорциональности - кривизна кривой, а n – единичный вектор главной нормали к кривой. 1/r > 0, n направлен в сторону вогнутости кривой.
Плоская кривая – все точки которой лежат в одной плоскости. Остальные – кривые двоякой кривизны. 
В случае скорости, непостоянной по модулю:
v = vs, a = dv/dt * s + ds/dt * v = dv/dt * s + v2/r * n. Вектор a лежит в плоскости векторов s и n, т.е. в соприкасающейся плоскости. Ускорение состоит из касательного (тангенциального) и нормального ускорения.