Orphus

Билет 47.

Деформация сдвига, модуль сдвига.

Сдвиг - на примере куба: сдвиг состоит в том, что все слои, параллельные основанию, сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном тому же основанию.

Приложим к противоположным граням AD и BC равные и противоположно направленные касательные силы. Они оразуют пару сил, под действием которых куб начинает вращеться. Для устранения вращения приложим такие же касательные сил к граням АВ и CD. Тогда куб вращатьс не будет, а будет только деформироваться.

φ - угол сдвига

φ << 1 => закон Гука <=> t = φ * G, G - модуль сдвига(зависит только от материала)

t - касательное напряжение. Запрепим AD и дальше сдвигаем квазистатически. Вся работа затрачиваемая на сдвиг пойдет на увеличение упругой энергии

А = 1/2 (t * S) * Δx = 1/2 (t * S) * γ * a = 1/2 t * V * γ, где V - объем куба.

Плотность энергии: u = 1/2 t * γ = t^2 / 2 G

Оказывается, что сдвиг эквивалентен сжатию в одном направлении и растяжени в другом, перпендикуляном первому.

F = a^2 * (t sin 45 + t cos 45) = sqrt(2) a^2 t

Напряжение сводится к нормальному давлению, численно равному t. (F / sqrt(2) a^2 = t)

То же и в любой плоскости, параллельной AC.

Тогда Т(х) = t, T(y) = -t, T(z) = 0.

ε (x) = Δx / x = T(x) / E - ( μ (T(y) + T(z)) ) / E ε (x) = (1 + μ)t / E

ε (y) = Δy / y = T(y) / E - ( μ (T(x) + T(z)) ) / E => ε (y) = - (1 + μ)t / E

ε (z) = Δz / z = T(z) / E - ( μ (T(x) + T(y)) ) / E ε (z) = 0

ΔV / V = ε (x) = ε (y) = ε (z) = 0 !!! <=> V = const при сдвиге

u = 1/2E [ T(x) ^ 2 + T(y)^2 + T(z)^2 - 2μ ( T(x)*T(y) + T(x)*T(z) + T(y)*T(z) ) ] = 1 / 2E * ( 2 t^2 - 2 μ (- t^2) ) = t^2 / E (1 + μ) = t^2 / 2E

G = E / 2*(1 + μ)

K = E / 3 (1 - 2μ)

E' = E (1 - μ) / (1 - μ - 2 μ^2) = [ (2 / 3 (1 + μ) ) + (1 / 3 (1 - 2μ ) ) ] * E.