Orphus

Билет 18 2008 Термодинамика 2 семестр

Неравенство Клаузиуса. Максимальность КПД цикла Карно

Рассмотрим следующую систему. n резервуаров R1, R2, ... , Rn имеют температуры T1, T2, ... , Tn. Система I совершает круговой процесс, забирая какое-то количество теплоты у каждого резервуара (Q1, Q2, ... , Qn). Есть n соединённых с резервуарами машин Карно К1, К2, ... , Кn. Каждая из машин забрала у своего резервуара теплоту Q1', Q2', ... , Qn'. Также есть резервуар R0 с температурой T0, который также отдаёт теплоту машинам Карно: Q_01, Q_02, ... , Q_0n. Все резервуары мы считаем очень большими, такими, чтобы их температура не менялась на протяжении рассматриваемого цикла.

Из теоремы Карно и определения абсолютной температуры:

Q_0i/T0 + Qi'/Ti = 0

Теплота, забранная у резервуара R0 в этом цикле:

Q0 = (сумма)Q_0i = -T0 (сумма от i=1 до n)Qi'/ Ti

В результате всего процесса i-тый резервуар отдаёт теплоту Qi + Qi', совершенная системой работа равна А = Q0 + (Q1 + Q1') + ... + (Qn + Qn')

Выберем Q1', Q2', ... , чтобы (Q1 + Q1') = ... = (Qn + Qn') = 0

В резальтате n тепловых резервуаров вернутся в исходные положения. Резервуар R0 отдаст

Q0 = T0 (сумма от i=1 до n) Qi/Ti <= 0 по постулату Томсона-Планка. У нас есть только один резервуар R0, отдающий нам теплоту (состояние остальных резервуаров не меняется), и работа равно Q0, так как мы так взяли Qi'. Поэтому работа не может быть положительной.

(сумма для кругового процесса(рисуется так: кружочек, а потом знак суммы) от i=1 до n) Qi/Ti <=0 <=> (интеграл по замкнутому контуру) дельта Q / T <= 0 - неравенство Клаузиуса.

Максимальность КПД.

дельта Q1 - принятая теплота, дельта Q2 - отданная.

(интеграл) дельта Q1 / T1 - (интеграл) дельта Q2 / T2 <= 0 (интеграл) дельта Q1 / T1_максимальная - (интеграл) дельта Q2 / T2_минимальная <= 0 Q1 / T1_максимальная - Q2 / T2_минимальная <= 0

- Q2/Q1 <= - Т2мин/Т1макс

КПД = эта = (Q1 - Q2)/Q1 <= (T1макс - Т2мин)/Т1макс

(T1макс - Т1мин)/Т1макс - КПД машины Карно, как мы доказали выше, это максимальный возможный КПД.