Orphus

Билет 2 2008 Термодинамика 2 семестр

Идеальный газ

Идеальным называется такой газ, у которого взаимодействием молекул между собой можно пренебречь. Иначе говоря, это газ, средняя кинетическая энергия частиц которого много больше энергии их взаимодействия. Например, разреженный газ нейтральных частиц можно считать идеальным.

Давление и температура идеального газа как функции кинетической энергии молекул

Рассмотрим столкновения молекул идеального газа с неподвижной стенкой. Выделим группу молекул, имеющих скорость v. В единице объема газа число таких молекул равно n(v). Для одной молекулы х - компонента импульса равна p_x = mv_x. В результате упругого столкновения со стенкой молекула передает стенке импульс 2рх. За время dt до стенки долетят молекулы, удаленные от нее на v_x dt. Их число есть n(v)Sv_x dt (S — площадь стенки), а передают они стенке импульс 2p_x nSv_x. Суммируя по всем группам молекул, получим полный импульс, передаваемый стенке за время dt: (сумма по векторам v, v_x>0) 2p_x nSv_x dt = F_x dt. Отсюда следует, что давление равно P=F_x/S = 2 (сумма по векторам v, v_x>0)n v_x p_x = 2*1/2 (сумма по векторам v, v_x)n(v) <v_x p_x>, n = (сумма по векторам v) n_v. Здесь черта сверху означает среднее арифметическое значение. Вследствие изотропии газа <v_x p_x> = <v_yp_y> = <v_z p_z> = 1/3 <vp>. Поэтому P = 1/3 n<vp>.

Для молекул массы m импульс равен р = mv, так что vp = 2(mv^2)/2 = 2e_кин. Поэтому Р = 2/3n<e_кин> или pv = 2/3Е. Здесь Е = n<e_кин> — полная кинетическая энергия молекул газа в объеме V (N = nV — число молекул в этом объеме). Сопоставление этого уравнения с уравнением состояния идеального газа в форме PV = vRT дает связь температуры и кинетической энергии частиц газа: Е = N<e_кин> = 3/2 vRT. Заменяя здесь N по формуле N = vN_a и обозначая k = R/N_a, получаем связь температуры и средней кинетической энергии молекулы: <e_кин> = 3/2 kT. Число к называется постоянной Больцмана и имеет смысл коэффициента пересчета единиц шкалы температуры (градусов) в единицы шкалы энергии (Джоули, эрги): k = 1,38066e-23 Дж/К.

Если газ состоит из безмассовых частиц (например, фотонов), то <e_кин> = рс = pv. Следовательно, уравнение состояния такого газа имеет вид Р = 1/3 n<e_кин> или PV = 1/3 E_кин (Е_кин — кинетическая энергия всех частиц в заданном объеме).

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа есть PV = vRT. Если m — полная масса, мю — молярная масса, а ро — плотность газа, то это уравнение можно представить в виде PV = m/мю RT или Р = ро RT/мю. Пусть состояние вещества полностью характеризуется тремя параметрами: объемом V, давлением Р и температурой T, т. е. эти величины связаны уравнением состояния f(Р, V, Т) = 0. Тогда приращения этих величин dР, dV, dT связаны соотношением df = дельта f/дельта P dP+дельта f/дельта V dV + дельта f/дельта T dT = 0. Рассмотрим процесс при неизменном давлении, т. е. при dР = 0. Тогда из условия df = 0 следует (дельта V/дельта T)_P = - дельта f/дельта T / (дельта f/дельта V). Аналогично, полагая dV = 0, найдем (дельта T/дельта P)_V = - дельта f/дельта P / (дельта f/дельта T). а из условия dT = 0 вытекает (дельта P/дельта V)_T = - дельта f/дельта V / (дельта f/дельта P). Перемножая все три найденные производные, получим тождество (дельта V/дельта T)_P (дельта T/дельта P)_V (дельта P/дельта V)_T = -1. В приведенных соотношениях в соответствии с традицией индекс у производных указывает, какие величины удерживаются постоянными при дифференцировании.