Orphus

Билет 33 2008 Термодинамика 2 семестр

Определение температуры как параметра равновесного статистического распределения

Если подсистема обладает энергией E и энтропией S, то её температура Т определяется следующим соотношением:

1/T = dS/dE

Здесь предполагается, что при изменении энергии системы её объём остаётся неизменным.

Так определённая температура совпадает с термодинамической. Чтобы убедиться в этом, учтём, что в распределение Гиббса входит именно термодинамическая температура. Найдём связь приращений энтропии и энергии. Используя выражение для статистического веса G = N!/(N1!N2!...Nm!), формулу стирлинга N! примерно~равно (N/e)^N и условие (сумма от 1 до m)dNi = 0, получаем

S = k ln G примерно~равно k[NlnN - (сумма от 1 до m)Ni ln Ni]; dlnG = - (сумма от 1 до m)dNi ln Ni

Подставляя сюда выражение для dNi из распределия Гиббса, находим

dS = - k (сумма от 1 до m)dNi ln Ni = - k (сумма от 1 до m)dNi [ln(N0/Z) - Ei/kT] = 1/T(сумма от i=1 до m)Ei dNi

Имея в виду, что при изменении равновесных значений Ni на dNi энергия системы меняется на величину

dE = (сумма от i=1 до m) Ei dNi

приходим к формуле dS = dE/T, эквивалентной той, что определяет статистическую температуру, но содержащей температуру термодинамическую. Это показывает эквивалентность обоих типов температуры и одновременно определяет смысл этой величины.

В приведённых вычислениях объём системы предполагался неизменным. Поэтому изменение энергии dE совпадает с количеством теплоты, полученным системой в ходе некоторого равновесного процесса. Тогда и приращение энтропии определяется той же формулой, что и в термодинамике. Это означает, что энтропии, введённые в статистической физике и в термодинамике, эквивалентны.