Orphus

Билет 37 2008 Термодинамика 2 семестр

Изотермические флуктуации объёма

Пусть порция газа, имеющая объем V1, отделена от остального газа поршнем. Для простоты считаем, что поршень может совершать только одномерное движение вдоль оси х. Трением при движении поршня пренебрегаем, а стенки сосуда и поршень считаем идеально теплопроводящими. Таким образом. мы имеем дело с изотермическим процессом. В состоянии равновесия давление в левой Р1 и правой Р2 частях сосуда одинаково и равно Р0. При смещении поршня на х объем левой части изменится на ДV1 = Sx, а объем правой - на ДV2 = -Sx, где S - площадь поршня. Соответственно, давление в обеих частях изменится и составит: Р1 = Р0 + ДР1, Р2 = Р0 + ДР2. ДР1 = (дP1/дх)_Т * х = (дР1/дV1)_T * Sx. ДР2 = -(дP1/дх)_Т * х = -(дР2/дV2)_T * Sx. В результате возникает сила, стремящаяся вернуть поршень в начальное положение:

F = [(P0+дР1)-(Р0+дР2)]S = S^2 [(дР1/дV1)_T + (дР2/дV2)_T] x.

Переписывая в виде F = -кx, находим выражение для эффективной жесткости:

k = -S^2 [(дР1/дV1)_T + (дР2/дV2)_T].

При смещении на х поршень приобретает потенциальную энергию U=кx^2/2. По теореме о распределении энергии по степеням свободы

< U > = к<x^2>/2 = 1/2 kT или <x^2> = kT/к. Поэтому среднеквадратичная флуктуация объема равна

<ДV^2> = -kT / [(дР1/дV1)_T + (дР2/дV2)_T].

При V1<<V2 давление в правой части сосуда меняется незначительно по сравнению с давлением в левой части (V1 - слева ^^), т.е. |(дР1/дV1)_T| >> |(дР2/дV2)_T|. Поэтому формула для флуктуации объема принимает вид

<ДV^2> = -kT / (дР1/дV1)_T = -kT (ДV1/ДP1)_T.

В частном случае идеального газа P1 = N1 kT / V1; P2 = N2 kT / V2. Подстановка этих выражений в формулу <ДV^2> = -kT / [(дР1/дV1)_T + (дР2/дV2)_T] дает:

<ДV^2> = (N1/V1^2 + N2/V2^2)^-1. Поскольку в состоянии равновесия N1/V1 = N2/V2, то следует <ДV^2> = 1/N1 V1^2/(1+V1/V2).

Если объем выделенной подсистемы мал, V1<<V2, то <ДV^2> = V1^2/N1. Относительное среднеквадратичное отклонение равно sqrt(<ДV^2>)/V1 = 1/sqrt(N1).


Адиабатические флуктуации объёма

До момента, когда мы начинаем пользоваться уравнением идеального газа, аналогично, только индекс при производных не Т, а S.

P = P_01 V_01^г/V^г.

(дР/дV)_S = P1 V1^г V^(-г-1) (-г).

(дР1/дV1)_S = P01 V01^г V1^(-г-1) (-г), (дР2/дV2)_S = P02 V02^г V2^(-г-1) (-г).

<(ДV)^2> = kT / г[P01 V01 г/(V1 r+1) + P02 V02 г/(V2 r+1)];

P01 = N01/V01 kT;

(Cчитаем Т почти постоянным)

в итоге поучаем

для идеального газа и маленького объёма

<(delta V)^2> = V1^2/(гамма N1)