1. Эллипс. Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определя­ется каноническим уравнением

(1)

при условии

Из уравнения (1) следует, что для всех точек эллипсаи

Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы коор­динат, имеющие координаты (а,0), (-а,0), (0,b) и (0,-b), называ­ются вершинами эллипса. Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. По­этому, если координаты (x, у) какой-либо точки М ему удовлетворя­ют, то ему удовлетворяют и координа­ты (-х,у), (х,-у) и (-х,-у) точек, и(рис. 27).

Отсюда вытекает

Предложение 1. Оси канонической системы координат являются осями сим­метрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего опи­сать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эл­липса: х² + у² = а². При каждом х таком, что, найдутся две точки эллипса с ординатами :и две точки окружнос­ти с ординатамиПусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ор­динат соответствующих точек равно b/а. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты

всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/а (рис. 28).

С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению

(2)

и. Фокусами называются точкиис координатами (с, 0)

и (-с, 0) в канонической системе координат (рис. 29).

Для окружности с = 0, и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью. Отношение

(3)

называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что

Предложение 2. Расстояние от произвольной точки М(х,у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (см. рис. 29) является линейной функцией от ее абсциссы х:

Доказательство Очевидно, что . Подставим

сюда выражение для у², найденное из уравнения эллипса. Мы полу­чим

Учитывая равенство (2), это можно преобразовать к виду

Так как и , отсюда следует, что справедливо первое из

Равенств Второе равенство доказывается аналогично.

Предложение 3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов рав­нялась большой оси эллипса 2а.

Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4) почленно, то увидим, что

(5)

Докажем достаточность. Пусть для точки М(х,у) выполнено усло­вие (5), т. е.

Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:

(6)

Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение (2). Мы придем к равенству равносильному уравне­нию эллипса (1).

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коорди­нат (рис. 30)

(7)

Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Предложение 4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, не­обходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентри­ситету эллипса.

Докажем это предложение для фокуса (-с, 0). Пусть М(х,у) — произвольная точка эллипса.

Расстояние от М до директрисы с уравнением х = -а/е

Из формулы (4) мы видим теперь, что

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости т. е.

Так как , это равенство легко приводится к виду (6), из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноничес­ким уравнением. Пусть — точка на эллипсе и . Че­рез M0 проходит график некоторой функции , который цели­ком лежит на эллипсе. (Для у₀ > 0 это график , для — график Не уточняя знака у0, обо­значим подходящую функцию f(x).) Для нее выполнено тождество

Дифференцируем его по х:

Подставляя х = хо и f(xо) = уо, находим производную от f в точке равную угловому коэффициенту касательной:

Теперь мы можем написать уравнение касательной:

Упрощая это уравнение, учтем, что , так как

лежит на эллипсе. Результату можно придать вид

(8)

При выводе уравнения (8) мы исключили вершины эллипса (а, 0) и (-а,0), положив у0 0. Для этих точек оно превращается, соот­ветственно, в уравнения х = а и х = -а. Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в верши­нах х как функция от у достигает экстремума. Предоставим читате­лю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение (8) определяет касательную для любой точки М0(х0,у0) на эллипсе.

Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке М0(x0,y0) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяю­щими эту точку с фокусами.

Доказательство Нам надо сравнить углысоставлен­ные векторами и с вектором n, перпендикулярным касатель­ной (рис. 31). Из уравнения (8) на­ходим, что , и потому

Используя (4), мы получаем отсюда, что. Аналогично

находим. Предложение доказано.

Комментарии