Матрицы линейного отображения и преобразования для конечномерных пространств. Операции над линейными преобразованиями в координатной форме. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов.
Координатная
запись отображений.
Рассмотрим линейные пространства Y
и Y’размерностей
n
и m
и линейное отображение A:
Y->Y’.
Пусть е1
е2..еn
базис в Y.
тогда образ произвольного вектора x=
e1+…+
en
раскладывается в линейную комбинацию
A(x)=
A(e1)+…
A(en)
) (3)
Значит А(х) может быть найден по координатам х, если известны образы базисных векторов А(е1)..А(еn).
Выберем также базис в пространстве Y’. Пусть это f1…fm. Каждый из образов базисных векторов мы можем разложить по f.
Если
компоненты вектора А(х) мы обозначим через h1..hm
то равенство (3) можно переписать так
Отсюда в силу единственности разложения по базису
(4)
Если
мы составим матрицу А
из чисел
то равенства (4) могут быть записаны в матричной форме
h=A
Или подробнее
=
(5)
Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе f) выражен как произведение матрицы А размеров m на n на координатный столбец вектора х в базиве е.
Матрицей линейного отображения А: Y->Y’ в паре базисов е и f называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке) – координатные столбцы векторов А(e1)..A(en) в базисе f.
При выбранных в пространствах Y Y’ базисах каждая матрица размеров m на n служит матрицей некоторого линейного отображения Y->Y’.
Предложение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения.
Доказательство. Пусть j1..jr номера базисных столбцов матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы А(е_j1)…A(e_jr) линейно независимы и каждый из векторов А(ei)(i=1..n)по ним раскладывается. Следовательно, мы можем разложить образ А(х) любого вектора только по А(е_j1)…А(е_jr). Таким образом, эти векторы образуют базис в ImA, и их число равно рангу А.
Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства.
Доказательство.
Согласно формуле (5) ядро отображения определяется системой линейных
уравнений A
c
n
неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения r.
Фундаментальная система решений этой системы состоит из d=n-r
решений, которые являются координатными столбцами векторов,
составляющих базис в ядре.
Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
Рассмотрим линейное отображение А:Y->Y’. Если в пространствах выбраны базисы e и f, то А определяется матрицей А. Пусть другая пара базисов e’ и f’ связана с е и f матрицами перехода S и P, и в базисах e’ и f’ отображение А имеет матрицу А’. Наша задача – найти связь между матрицами A и А’.
Рассмотрим
произвольный вектор х
пространства Y
и его образ y=A(x).
Обозначим координатные столбцы x
в базисах e
и
e’
соответственно через
а координатные столбцы y
в базисах f
и
f’
через h
и
h’.Согласно
формуле перехода к новому базису
Подставив эти выражения в формулу (5) мы получаем Ph’=AS
.
Поскольку матрица перехода имеет обратную h’=
AS.
Но по формуле (5) h’=A’
Так
как матрица линейного отображения для данной пары базисов
единственна, мы получаем
A’=AS
Канонический вид матрицы линейного отображения
Для любого линейного отображения А:Y->Y’ ранга r можно так выбрать базисы в Y Y’ что оно будет иметь матрицу
A=
Где Er- единичная матрица порядка r, остальные элементы если есть равны 0.
Доказательство.
Поместим векторы
..
базиса пространства Y
в Ker
A(его
размерность как раз равна n-r)
а векторы
…
можем выбрать произвольно. В силу такого выбора при любом базисе Y’
последние n-r
столбцов матрицы А будут нулевыми. Так как RgA=r
первые столбцов должны быть линейно независимы. Поэтому линейно
независимыми будут векторы A(
)..A().
Примем их за первые r
базисных векторов в пространстве Y’,
а отсальные векторы
..
этого
базиса выберем произвольно. При таком выборе первые r
столбцов А будут первыми r
столбцами единичной матрицы порядка m.
Это и есть искомый вид.
