Система Orphus

Система Orphus

11)Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость собственных интегралов, зависящих от параметра.

Непрерывность Теорема 1


Пусть функция f непрерывна на [a,b]\times[c,d]. Тогда интеграл I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx непрерывен [c,d].


Доказательство Пусть y \in [c,d], y+\Delta y\in [c,d]. Тогда

|I(y+\Delta y)-I(y)|\leqslant\int_{a}^{b}\left|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\right|dx\leqslant (b-a)\omega(|\Delta y|,f),

где ω(Δ,f) - модуль непрерывности функции f. В силу непрерывности f, а значит, и равномерной непрерывности функции f на [a,b]\times[c,d], \omega(\Delta, f) \to 0 при \Delta \to 0, откуда и следует утверждение теоремы.


Непрерывность Теорема 2

Пусть функции ψ,φ непрерывны на [c,d], \phi(y)\leqslant \psi(y) при y \in [c,d], \overline{G}=\{(x,y):\phi(y)\leqslant x \leqslant\psi(y), c\leqslant y \leqslant d\}. Пусть f - непрерывна на \overline{G}. Тогда интеграл J(y)=\int_{\psi(y)}^{\phi(y)}f(x,y)dx непрерывен на [c,d].


Доказательство С помощью замены x = φ(y) + t(ψ(y) − φ(y)) получаем

J(y)=\int_{0}^{1}f(\phi(y)+t(\psi(y)-\phi(y)), y)((\psi(y)-\phi(y))dt

подинтегральная функция непрерывна на [0,1]\times [c,d]. По теореме 1 интеграл J(y) непрерывен на [c,d]


Интегрирование Теорема 3 Пусть

1).Функция f интегрируема на [a,b]\times[c,d],

2). Интеграл I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx существует при каждом y \in [c,d].

3). Интеграл \int_{c}^{d}f(x,y)dy существует при каждом x \in [a,b].

Тогда

\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy

Это теорема вытекает из теоремы о повторном интеграле.


Дифференцирование Теорема 4

Пусть f и \frac{\partial f}{\partial y} непрерывны на [a,b]\times [c,d]. Тогда функция

I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx

дифференцируема на [c,d] и

\frac{dI(y)}{dy}=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx

Доказательство

Пусть y\in[c,d], y+\Delta y\in[c,d]. Тогда, используя формулу конечных приращений Лагранжа, имеем

\left|\frac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}-\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx\right|\leqslant \int_{a}^{b}\left|\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}-\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right|dx
=\int_{a}^{b}\left|\frac{\partial}{\partial y}f(x,y+\theta\Delta y)-\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right|dx\leqslant (b-a)\omega\left(|\Delta y|,\frac{\partial f}{\partial y}\right)

где \omega\left(\delta ,\frac{\partial f}{\partial y}\right) - модуль непрерывности функции \frac{\partial f}{\partial y} на [a,b]\times[c,d]. В силу непрерывности, а значит и равномерной непрерывности \frac{\partial f}{\partial y} на [a,b]\times[c,d]

\omega\left(|\Delta y|,\frac{\partial f}{\partial y}\right)\to 0 при |\Delta y|\to 0

Из приведенных оценок получаем теперь, что существует

\frac{dI}{dy}:=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx

что и требовалось доказать.


Дифференцируемость Теорема 5

Пусть f и \frac{\partial f}{\partial y} непрерывны на [a,b]\times[c,d],

φ,ψ- непрерывно дифференцируемы на [c,d], a \leqslant \phi(y) \leqslant \psi(y) \leqslant b при y \in [c,d].

Тогда на отрезке [c,d] существует производная

\frac{dJ(y)}{dy}=\int_{\phi(y)}^{\psi(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx+f(\psi,x)\frac{d\psi}{dy}-f(\phi,x)\frac{d\phi}{dy}~~~~~(1)


Доказательство

Определим на [c,d]\times[a,b]\times[a,b] функцию

F(y,u,v):=\int_{u}^{v}f(x,y)dx

Тогда

J(y) = F(y,φ(y),ψ(y)).

Формула (1) получается, очевидно, при дифференцировании последнего равенства в соответствии с правилами дифференцирования интеграла с переменным верхним(нижним) пределом и дифференцирования сложной функции. Для обоснования последнего достаточно убедиться в непрерывности на [c,d]\times[a,b]\times[a,b] производных

F'_u(y,u,v)=-f(u,y),~~~~F'_v(y,u,v)=f(v,y)
F'_y(y,u,v)=\int_{u}^{v}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx

Производные F'u,F'v непрерывны в силу непрерывности функции f.

Производная F'y, вычисленная по правилу Лейбница(теорема 4), с помощью замены переменной в интеграле записывается в виде

F'_y(y,u,v)=\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial y}(u+(v-u)t,y)(v-u)dt:=\int_{0}^{1}h(y,u,v,t)

По теореме о непрерывности композиции непрерывных функций подынтегральная функция h непрерывна на [c,d]\times[a,b]\times[a,b]\times[0,1]. Отсюда следует, что интеграл \int_{0}^{1}h(y,u,v,t)dt непрерывен на [c,d]\times[a,b]\times[a,b]. Последнее утверждение можно устоновить с помощью непосредственной оценки:

\left|\int_{0}^{1}h(y+\Delta y,u +\Delta u, v+\Delta v)dt-\int_{0}^{1}h(y,u,v)dt\right|\leqslant \int_{0}^{1}\left|h(y+\Delta y,u +\Delta u, v+\Delta v)-h(y,u,v)\right|dt\leqslant \omega(\delta,h)

где ω(δ,h)- модуль непрерывности функции h, (\Delta y)^2+(\Delta u)^2+(\Delta v)^2\leqslant \delta^2.


Система Orphus

Комментарии