Действие для заряда в электромагнитном поле имеет вид

$S=\int_{a}^b \left(-mc~ds-\frac{e}{c}A_idx_i\right)$ .

Три пространственные компоненты 4-вектора $A^i$ образуют трехмерный вектор $\vec{A}$ , называемый векторным потенциалом поля. Временную же компоненту называют скалярным потенциалом; обозначим её как $A^0=\varphi$ . Таким образом

$A^i=(\varphi, \vec{A}).$

Поэтому интеграл действия можно написать в виде

$S=\int_{a}^b \left(-mc~ds-\frac{e}{c}\vec{A}d\vec{r}-e\varphi~dt\right)$

или, вводя скорость частицы $\vec{v}=d\vec{r}/dt$ и переходя к интегрированию по времени, в виде

$S=\int_{t_1}^{t_2}\left(-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}\vec{A}\vec{v}-e\varphi\right)$ dt

Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле

$L=-mc\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}\vec{A}\vec{v}-e\varphi$

Надо найти уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьированием действия, т.е. даются уравнениями Лагранжа

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}=\frac{\partial L}{\partial \vec{r}}$

Производная $\partial L/ \partial \vec{v}$ есть обобщенный импульс частицы Далее имеем

$\frac{\partial L}{\partial \vec{r}}\equiv \nabla L=\frac{e}{c}grad~\vec{A}\vec{v}-e~grad\varphi$ .

Уравнение Лагранжа, следовательно имеет вид

$\frac{d}{dt}(\vec{p}+\frac{e}{c}\vec{A})=\frac{e}{c}(\vec{v}\nabla)\vec{A}+\frac{e}{c}[\vec{v}~rot~\vec{A}]-e~grad\varphi$

Но полный дифференциал $(d\vec{A}/dt)$ складывается из двух частей

$\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}+(\vec{v}\nabla)\vec{A}$

Подставляя это в предыдущее уравнение получаем

$\frac{d\vec{p}}{dt}=e(-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-grad~\varphi)+\frac{e}{c}[\vec{v}~rot~\vec{A}].$

Сказать "Спасибо"

Уравнения движения частицы во внешнем электромагнитном поле как следствие принципа наименьшего действия.

Комментарии