Для более глубокого понимания поведения частиц в слабонеоднородных внешних полях необходимо знать, что величина

$\oint\vec{p}d\vec{q}$

где $\vec{p}$ и $\vec{q}$ - обобщенный импульс и координата частицы, является адиабатическим инвариантом.

Пусть мы имеем дело с частицей, совершающей периодическое движение вроде того что происходит в постоянном магнитном поле. Пусть это движение характеризуется некоторым параметром $\lambda$ , определяющим свойства либо самой системы, либо же внешнего поля. Т.е. эта величина представляет собой нечто вроде ЭМ полей в предыдущих задачах. Пусть $\lambda$ медленно (адиабатически) меняется под влиянием каких-то внешних условий,например,частица движется в слабонеоднородном поле. Т.е.

$T\frac{d\lambda}{dt}<<\lambda$ - изменение $\lambda$ за период $T$ много меньше самого $\lambda$ . Пусть $H(p, q;\lambda)$ - Гамильтониан частицы.Тогда

$\frac{d\varepsilon}{dt}=\frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial t}$

где мы воспользовались уравнениями Гамильтона $\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}~,~~\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$ .

Выражение, стоящее справа зависит медленно от медленно меняющейся $\lambda$ и быстрых $p$ и $q$ . Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии следует усреднить это равенство по периоду движения. А именно свести его к уравнению:

$\frac{\overline{d\varepsilon}}{dt}=\dot{\lambda}\frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda}.$

Вследствие медленности изменения $\lambda$ мы можем вынести её производную за знак усреднения.Далее

$\frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda}\equiv \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{\partial H}{\partial \lambda}dt$

и т.к. $\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}$ , то $dt=\frac{dq}{\partial H\partial p}$ . Т.е.

$\frac{\overline{d\varepsilon}}{dt}=\frac{d\lambda}{dt}\frac{\oint\frac{\partial H/\partial\lambda}{\partial H/\partial p}dq}{\oint\frac{dq}{\partial H /\partial p}}$

Припериодическом движении $H(p,q;\lambda)=\varepsilon=const$ . Из этого уравнения можно найти $p=p(q; \varepsilon, \lambda)$ . Следовательно, дифференцируя равенство $H=\varepsilon$ по $\lambda$ , получаем:

$\frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial \lambda}=0.$

Откуда следует, что

$-\frac{\partial p}{\partial \lambda}=\frac{\partial H/\partial \lambda}{\partial H/\partial p}.$

Тогда

$\frac{\overline{d\varepsilon}}{dt}=\frac{d\lambda}{dt}\frac{\oint\frac{\partial p}{\partial \lambda}dq}{\oint\frac{\partial p}{\partial \varepsilon}dq}.$

Следовательно

$\oint (\frac{\partial p}{\partial \varepsilon}\frac{\overline{\partial \varepsilon}}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial t})dq=\frac{d}{dt}\oint pdq=0$

Из последнего равенства мы получаем, что следующая величина $I=\oint pdq$ сохраняется.

Сказать "Спасибо"

Адиабатический инвариант

Комментарии