Действие, как интеграл, не должно зависеть от выбора той или иной инерциальной системы отсчета , т.е он должен быть инвариантом относительно относительно преоблазований Лоренца. Отсюда следует, что он должен быть взят от скаляра. Далее ясно, что под интегралом должны стоять, дифференциалы в первой степени.

Итак действие для свободной частицы должно иметь вид:

$S=-\alpha\int_a^b ds,$

где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя заданными событиями $a$ и $b$ - нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени $t_1$ и $t_2$ , т.е между заданными мировыми точками; $\alpha$ есть некоторая постоянная, характеризующая данную частицу. Легко видеть, что для всех частиц $\alpha$ должна быть положительной величиной.

Действие можно представить в виде интеграла по времени:

$S=\int_{t_1}^{t^2}Ldt.$

Коэффициент $L$ при $dt$ называется, как известно функцией Лагранжа для данной механической системы.

С помощью $\frac{ds}{c}=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ находим

$S=-\int_{t_1}^{t_2}\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt,$

где $v$ - скорость материальной частицы. Функция Лагранжа для частицы есть, следовательно,

$L=-\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Величина $\alpha$ находится из условия, что при предельном переходе $c \to \infty$ наше выражение для $L$ должно перейти в классическое выражение

$L=\frac{mv^2}{2}$

$L=-\alpha c\sqrt{1-{v^2}{c^2}}\approx -\alpha c+\frac{\alpha v^2}{2c}$

Постоянные члены функции Лагранжа не отражаются в уравнениях движения и могут быть опущены. Получаем, что $\alpha=mc.$ Таким образом, действие для свободной материальной точки равно

$S=-mc\int_{a}^{b}ds,$

а функция Лагранжа

$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$

Сказать "Спасибо"

Комментарии