Сказать "Спасибо"

Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Теорема Больцано-Вейрштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть $\{x_n\}$ - ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, т.е.

$\exists a,b: \forall n\in \mathbb{N}\to x_n\in\Delta=[a,b].$

Разобьем отрезок $\Delta=[a,b]$ пополам точкой $d$ . Тогда по крайней мере один из отрезков $[a,d], [d,b]$ содержит бесконечное число членов последовательности $\{x_n\}$ . Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $\Delta_1=[a_1,b_1]$ , его длина равна

$b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$ .

Разделив отрезок $\Delta_1$ пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок $\Delta_2=[a_2,b_2]$ , содержащий бесконечное число членов последовательности $\{x_n\}$ . Продолжая эти рассуждения, получим последовательность $\{\Delta_n=[a_n,b_n]\}$ отрезков таких что:

$1)\Delta_1\supset\Delta_2\supset\ldots\supset\Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset\ldots$

$2) b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to 0$ при $n\to\infty$

Следовательно, $\{\Delta_n\}$ - стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка $c$ , принадлежащая всем отрезкам, т.е.

$\exists c:\forall k \in \mathbb{N} \to c\in\Delta_k~~~~~(2)$ ,

Покажем, что найдется подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ последовательности $\{x_n\}$ такая, что

$\lim_{k\to\infty}~x_{n_k}=c$ .

Так как отрезок $\Delta_1$ содержит бесконечное число членов последовательности $\{x_n\}$ , то

$\exists n_1\in N:x_{n_1}\in\Delta_1$ .

Отрезок $\Delta_2$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому

$\exists n_2 > n_1: x_{n_2}\in \Delta_2$ .

Вообще,

$\forall k\in N~\exists n_k:~x_{n_k}\in \Delta_k$ , где $n_1<n_2<\ldots<n_{k-1}<n_k$ .

Следовательно, существует подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ последовательность $\{x_n\}$ такая, что

$\forall k\in N \to a_k\leqslant x_{n_k}\leqslant b_k~~~~~(4)$

Условия (2) и (4) означают, что точки $c$ и $x_{n_k}$ принадлежит отрезку $\Delta_k=[a_k, b_k]$ , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка $\Delta_k$ , т.е.

$|x_{n_k}-c|\leqslant b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$ .

Так как $\left\{\frac{1}{2^k}\right\}$ - бесконечно малая последовательность, следует утверждение теоремы.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной .

Необходимость. Пусть последовательность $\{x_n\}$ имеет конечный предел $a$ . По определению предела

$\forall \varepsilon > 0~\exists N_\varepsilon : \forall p \geqslant N_\varepsilon \to |x_p-a|< \frac{\varepsilon}{2}. ~~~~~(1)$

Полагая в (1) сначала $p=n$ , а затем $p=m$ и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем

$|x_m-x_n|=|(x_m-a)-(x_n-a)|\leqslant |x_n-a|+|x_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$

Следовательно для любого $n \geqslant N_\varepsilon$ и для любого $m \geqslant N_\varepsilon$ выполняется неравенство $|x_n-x_m|<\varepsilon$ , т.е последовательность является фундаментальной.

Достаточность. Пусть $\{x_n\}$ - фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности

$\forall \varepsilon > 0~\exists~n_{\varepsilon}~:~\forall n,~m \geqslant~n_{\varepsilon}\to|x_n-x_m|<\frac{\varepsilon}{2}.~~~~~~~(2)$

Так как фундаметальная последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ . Пусть её предел равен $a$ , т.е.

$\lim_{k \to \infty} x_{n_k}=a.~~~~~(3)$

Покажем, что число $a$ является пределом исходной последовательности $\{x_n\}$ . По определению предела (3)

$\forall\varepsilon > 0~\exists~k_{\varepsilon}:\forall k\geqslant k_{\varepsilon}\to|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2},~~~~~~(4)$

Пусть $N_{\varepsilon}=\max(n_\varepsilon,k_\varepsilon)$ . Фиксируем в (4) номер $n_k \geqslant N_\varepsilon$ . Тогда при $m=n_k$ и при всех $n \geqslant N_\varepsilon$ в силу (2) выполнется неравенство

$|x_{n_k}-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}~~~~~(5)$ .

Из (4) и (5) следует, что при всех $n \geqslant N_\varepsilon$ справедливо неравенство

$|x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leqslant |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ ,

т.е. $\lim_{n\to\infty}x_n=a.$

Сказать "Спасибо"

Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Теорема Больцано-Вейрштрасса

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Комментарии