Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает своих верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть

$B:=\sup_{[a,b]}~f\leqslant +\infty$ .

По определению верхней грани

$\forall~n \in \mathbb{N}~\exists x_n\in[a,b]:~f(x_n)\in U_{\frac{1}{n}}(B).$

Следовательно, $f(x_n)\to B$ при $n\to\infty$ . Последовательность $\{x_n\}$ ограничена, так как $a\leqslant x_n \leqslant b~~\forall n\in \mathbb{N}$ . По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим из неё сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ , $x_{n_k}\to x_0$ при $k\to\infty$ . Переходя к пределу в неравенстве $a\leqslant x_{n_k}\leqslant b$ , получаем, что $x_0\in[a,b]$ . В силу непрерывности функции $f$ в точке $x_{0}$ имеем

$f(x_{n_k})\to f(x_0)$ при $k\to\infty$ .

С другой стороны, ${f(x_{n_k})}$ - подпоследовательность сходящейся к $B$ последовательности. Поэтому $f(x_{n_k})\to B$ при $k\to\infty$ . Из последних двух соотношений получаем, что

$\sup_{[a,b]}~f=B=f(x_0)$ .

Отсюда следует, во-первых, что $\sup_{[a,b]}f<+\infty$ , т.е. что функция $f$ ограничена сверху, и, во-вторых, что функция достигает своей верхней грани в точке $x_0$ .

Аналогично можно доказать, что функция $f$ ограничена снизу и достигает своей нижней грани. Теорема доказана.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр 55

Сказать "Спасибо"

Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.

Комментарии