Определение. Говорят, что функциональная последовательность

$\{f_n\}_1^{\infty},~~f_n:E\to\mathbb{C},~~E\subset\mathbb{R}^d.~~~~~(1)$

сходится на множестве $E$ равномерно к функции $f: E\to\mathbb{C}$ , если

$\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0$ при $n\to\infty.$

При этом пишут

$f_n\underset{E}\rightrightarrows f$ .

Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Последовательность $\{f_n\},~f_n:~E\to\mathbb{C}$ , сходится на $E$ равномерно тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши:

$\forall ~\varepsilon > 0~\exists n(\varepsilon)~:~\sup_{E}|f_n-f_m|<\varepsilon~~\forall n,m \geqslant n(\varepsilon)$ .

Доказательство.

Необходимость. Пусть $f_n\underset{E}\rightrightarrows f$ . Тогда

$\forall~\varepsilon > 0~ \exists~ n(\varepsilon)~:~\sup_{E}|f_n-f|<\frac{\varepsilon}{2}~$ при $~n\geqslant n(\varepsilon)$

Отсюда следует, что $n,m \geqslant n(\varepsilon)$ ,

$\sup_{E}|f_n-f_m|\leqslant\sup_{E}|f_n-f|+\sup_{E}|f_m-f|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Тогда при каждом фиксированном $x\in E$ выполнено условие

$\forall~\varepsilon>0~ \exists n(\varepsilon)~:~|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon~\forall n, m \geqslant n_\varepsilon,~\forall x\in E~~~~~(2).$

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности $\{f_n(x)\}$ сходится для $\forall x\in E$ . Обозначим предел числовой последовательности $\{f_n(x)\}$ через $f(x)$ . Покажем, что $f_n\underset{E}\rightrightarrows f$ . Перейдем для этого в оценке (2) к пределу при $m\to\infty$ . Получим, что

$\forall \varepsilon>0~\exists n(\varepsilon)~:~|f_n(x)-f(x)|\leqslant \varepsilon~~\forall n\geqslant n(\varepsilon),~~\forall x\in E$ .

Переходя в последнем неравенстве к верхней грани по $x\in E$ , видим что $f_n\underset{E}\rightrightarrows f$ по определению 2.

Определение. Говорят, что ряд сходится на $E$ равномерно, если последовательность $\{S_n\}$ его частичных сумм сходится на $E$ равномерно.

Сказать "Спасибо"

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

Комментарии