Непрерывность. Пусть $f_n\underset{E}\rightrightarrows f$ . Если все функции $f_n$ непрерывны в точке $x^{(0)}$ по множеству $E$ , то и предельная функция $f$ непрерывна в точке $x^{0}$ по множеству $E$ .

Доказательство. Пусть $\varepsilon >0$ . Тогда

$\exists n(\varepsilon)~:~|f(x)-f_{n(\varepsilon)}(x)|<\varepsilon~~\forall~x~\in E$ .

Тогда при $x \in E$

$|f(x)-f(x^{(0)})|\leqslant |f(x)-f_{n(\varepsilon)}(x)|+|f_{n(\varepsilon)}(x)-f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})|+$

$+|f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})-f(x^{(0)})|<2\varepsilon+|f_{n(\varepsilon)}(x)-f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})|$ .

В силу непревности функции $f_{n(\varepsilon)}$ в точке $x^{(0)}$ по множеству $E$

$\exists \delta=\delta_\varepsilon>0~:~|f_{n(\varepsilon)}(x)-f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})|<\varepsilon~~\forall x \in E \cap U_\delta(x^{(0)})$ .

Отсюда и из предыдущего неравенства следует, что

$|f(x)-f(x^{(0)})|<3\varepsilon~~\forall~x~\in~E\cap U_{\delta}(x^{(0)}).$

Следовательно, функция $f$ непрерывна в точке $x^{(0)}$ по множеству $E$ .

Для рядов достаточно положить $f_n=\sum^{n}_{k=1}u_k,~~f=S$ .

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.293.

Интегрируемость. Пусть функции $f_n$ непрерывны на отрезке $[a,~b]$ при всех $n\in\mathbb{N}$ и $f_n\underset{[a,b]}\rightrightarrows f$ при $n \to \infty$ .

Тогда

$\int_{a}^{x}f_n(t)dt\underset{[a,b]}\rightrightarrows \int_{a}^{x}f(t)dt$ при $n\to\infty$ .

Доказательство. Функция $f(x)$ по теореме 1 непрерывна на отрезке $[a, b]$ при всех $n\in\mathbb{N}$ и, следовательно интегрируема на $[a,b]$ . Пусть $\varepsilon > 0$ . Тогда в силу равномерной сходимости $\{f_n\}$ к функции $f$

$\exists n(\varepsilon)~:~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon~\forall x\in[a,b],~\forall n\geqslant n(\varepsilon)$ .

Следовательно для всех $n\geqslant n(\varepsilon)$

$\sup_{[a\leqslant x\leqslant b]}\left|\int_{a}^{x} f_n(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt\right|\leqslant \int_{a}^{b}|f_n(t)-f(t)|dt<\varepsilon(b-a)$

откуда и следует утверждение теоремы.

Для рядов достаточно положить $f_n(x)=\sum^{n}_{k=1}u_k(x),~~f(x)=\sum^{\infty}_{k=1}u_k(x)$ .

Дифференцируемость. Пусть последовательность $\{f_n\}$ непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций сходится в точке $c\in[a,b]$ , а, последовательность производных $\{f'_n\}$ равномерно сходится на $[a,b]$ к некоторой функции $\phi$ .

Тогда последовательность $\{f_n\}$ равномерно сходится на $[a, b]$ к некоторой функции непрерывно дифференцируемой на $[a, b]$ функции $f$ и $f'=\phi$ , так что $(\lim_{n\to \infty}f_n)'=\lim_{n\to\infty}f'_n$ на $[a, b]$ .

Доказательство. По теореме 1 функция $\phi$ непрерывна на $[a,b]$ . В силу теоремы 2 и формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

$f_n(x)-f_n(c)=\int_{c}^{x}f'_n(t)dt\underset{[a,b]}\rightrightarrows\int_{c}^{x}\phi(t)dt$ .

Числовую сходящуюся последовтельность $\{f_n(c)\}$ можно считать, очевидно, функциональной последовательностью, равномерно сходящейся на $[a, b]$ . Тогда последовательность $\{f_n\}$ равномерно сходится на $[a,b]$ к некоторой функции $f$ .

Переходя в левой части последней формулы к пределу при $n\to\infty$ , получаем, что

$f(x)-f(c)=\int_{c}^{x}\phi(t)dt~\forall x\in[a,b]$ .

Правая часть этого равенства является дифференцируемой функцией. Следовательно таковой является и левая часть, а значит и функция $f$ . Дифференцируя равенство получаем, что $f'(x)=\phi(x)~~\forall~x\in[a,b]$ . Теорема доказана.

Для рядов достаточно положить $f_n=\sum^{n}_{k=1}u_k$ .

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.293.

Сказать "Спасибо"

Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость суммы равномерно сходящегося ряда.

Комментарии