Степенные ряды. Радиус сходимости.

Определение. Функциональный ряд

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,~~~~~$

где $a_n$ и $z_0$ - комплексные числа, а $z$ - комплексная переменная, называется степенным рядом.

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется число или $+\infty$ :

$R=\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\sqrt[n]{|a_n|}},~~0\leqslant R\leqslant +\infty~~~~(2)$

кругом сходимости ряда (1) называется круг

$\{z~:~|z-z_0|<R\}.~~~~~(3)$

Круг сходимости является открытым множеством. При $R=+\infty$ он совпадает со всей комплексной плоскостью.

Формула (2) называется формулой Коши-Адамара.

Теорема. Признак Коши. Пусть в $\sum^{\infty}_{n=1}b_n,~~b_n\geqslant 0, ~l=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{b_n}$ . Тогда

1. при $l<1$ ряд сходится

2. при $l>1$ ряд расходится и даже общий член не стремится к нулю.

$q=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n z^n|}=\frac{|z|}{R}.$

Теорема. Пусть $R$ - радиус сходимости ряда. Тогда

1. при $|z|<R$ ряд сходится и даже абсолютно.

2. при $|z|>R$ ряд расходится и даже общий член не стремится к нулю.

Теорема. Пусть $R$ - радиус сходимости степенного ряда, $0<r<R$ . Тогда в круге $\{z\in\mathbb{C}~:~|z|\leqslant r\}$ ряд сходится равномерно.

Доказательство: $|a_n z^n|\leqslant|a_n|r^n$ - числовой сходящийся ряд.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.297.

Сказать "Спасибо"

Степенные ряды. Радиус сходимости.