Пусть функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в односвязной области $\Omega\subset R^2$ , а простой кусочно гладкий контур $\Gamma\subset\Omega$ ограничивает область $G\subset\Omega$ . Тогда справедлива формула Грина

$\int\limits_{\partial G}Pdx+Qdy=\iint\limits_{G}\left[\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right]dxdy,~~~~~(1)$

где $\partial G$ есть положительно ориентированная граница области $G$ .

Доказательство.

Докажем сначала формулу (1) в наиболее простом случае, когда область $G$ еще и элементарна относительно обеих координатных осей, т.е. существуют такие кусочно непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции $\varphi(x),\psi(x),x\in[a,b]$ , и $\alpha(y),\beta(y),y\in[c,d]$ , что

$\bar{G}=\{(x,y):~a\leqslant x\leqslant b,\varphi(x)\leqslant y\leqslant\psi(x)\}=$

$=\{(x,y):~c\leqslant y\leqslant d,~\alpha(y)\leqslant x\leqslant \beta(y)\}$ .

Примерами таких областей являются внутренности круга, эллипса, треугольника.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства

$-\iint\limits_{G}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy=-\int\limits_{a}^{b}dx\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\int\limits_{a}^{b}P(x,\varphi(x))dx-\int\limits_{a}^{b}P(x,\psi(x))dx=$

$=\int\limits_{ABCD}Pdx+\int\limits_{DE}Pdx+\int\limits_{EFMN}Pdx+\int\limits_{NA}Pdx=\int\limits_{\partial G}Pdx.~~~~~~(2)$

Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам $DE$ и $NA$ равны нулю, так как на этих отрезках $x=\mathrm{const}$ . Аналогично доказывается формула

$\iint\limits_{G}\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy=\int\limits_{\partial G}Q(x,y)dy.~~~~~(3)$

Складывая равенства (2) и (3) получаем формулу Грина (1).

Пусть теперь область $G$ по-прежнему ограничена кусочно гладкой замкнутой кривой $\partial G$ . Предположим её можно кусочно гладкой простой кривой $\Gamma$ разбить на две области простейшего вида рассмотренные выше. Тогда

$\partial G_1=\Gamma \cup \Gamma_1,~\partial G_2=\Gamma^{-}\cup\Gamma_2$ ,

Применяя формулу Грина в каждой из областей $G_1$ и $G_2$ , получаем при складывании, что интегралы по $\Gamma$ и $\Gamma^{-}$ взаимно уничтожаются и мы опять приходим к формуле Грина. При помощи математической индукции легко обобщить на случай односвязной области.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа. стр.541.

Сказать "Спасибо"

Формула Грина.

Комментарии