Пусть $f$ - $2\pi$ периодическая, непрерывная и кусочно-непрерывно дифференцируемая функция.

Тогда ряд Фурье функции $f$ сходится к $f$ равномерно на $\mathbb{R}$ и

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|S_n(x;f)-f(x)|\leqslant C\frac{\ln n}{n}$ при $n\geqslant 2$ ,

где $C$ не зависит от $n$ .

Доказательство. Пусть $0<\delta=\delta_n<\pi$ . Перепишем формулу

$S_n(x;0)-\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}=$ $=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\left[\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}+\right.$ $\left.+\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{t}\right]\frac{t}{2\sin\frac{t}{2}}\left(\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt~~~(1)$

в виде

$S_n(x;f)-f(x)~=$ $\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{0}^{\delta}+\int\limits_{\delta}^{\pi}\right)g_x\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)r\right)dt=I_n+J_n,~~~~(4)$ $g_x(t):=\frac{f(x+t)+f(x-t)-2f(x)}{2\sin\frac{t}{2}}$ .

Пусть $M_1=\max|f'|$ . C помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при $0<t\leqslant \pi$

$|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|\leqslant 2M_1 t$ .

Следовательно, при $0<t\leqslant \pi$

$|g_x(t)|\leqslant\frac{2M_1 t}{2\sin\frac{t}{2}}\leqslant \pi M_1$

и (за исключением быть может, конечного числа значений $t$ )

$\|\frac{d}{dt}g_x(t)\|\leqslant |f'(x+t)-f'(x+t)|\frac{1}{\sin\frac{t}{2}}+$ $+|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|\frac{\cos\frac{t}{2}}{4\sin^2\frac{t}{2}}\leqslant\frac{\pi M_1}{t}+\frac{\pi M_1}{2\mathrm{tg}\frac{t}{2}}\leqslant \frac{2\pi M_1}{t}$ .

Очевидно, что $|I_n|\leqslant \delta M_1$ .

С помощью интегрирования по частям имеем

$J_n=\left.-\frac{1}{\pi}g_x(t)\frac{\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{n+\frac{1}{2}}\right|_{\delta}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\int\limits_{\delta}^{\pi}\frac{d}{dt}g_x(t)\frac{\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{n+\frac{1}{2}} dt$ .

Отсюда

$|J_n|\leqslant \frac{M_1}{n+\frac{1}{2}}+\frac{2M_1\ln\frac{1}{\delta}}{n+\frac{1}{2}}=\left(1+2\ln\frac{1}{\delta}\right)M_1\frac{1}{n+\frac{1}{2}}$ .

Полагая $\delta=\delta_n=\frac{1}{n}$ , получаем, что при $n\geqslant 2$

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|S_n(x;f)-f(x)|\leqslant |I_n|+|J_n|\leqslant \frac{C\ln n}{n}$ ,

где $C$ не зависит от $n$ . Теорема доказана.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 2.стр.120-122.

Сказать "Спасибо"

Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Комментарии