Преобразование фурье и обратное преобразование фурье

Если непрерывная и абсолютно интегрируемая на $\mathbb{R}$ функция $f(x)$ является кусочно гладкой на любом отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}$ , а функция $~f'(x)~$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$ , то

$F[f']~=~iyF[f]~~~(6)$ .

Доказательство. Для функции $f(x)$ справедлива фломула Ньютона-Лейбница

$f(x)=f(0)+\int\limits_{0}^{x}f'(t)dt$ .

Так как производная $~f'(x)~$ абсолютно интегрируемая функция, то существует

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=f(0)+\int\limits_{0}^{\infty}f'(x)dx=A$ .

Покажем, что $A=0$ . Если, например, $A>0$ , то существует такое число $a\in\mathbb{R}$ , что при $x>a$ выполнено неравенство $f(x)>\frac{1}{2}A$ , откуда по признаку сравнения следует, что интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ является расходящимся, что противоречит условию теоремы. Итак, $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ .

Аналогично, доказывается, что $\lim_{x\to -\infty}f(x)=0$ .

Применяя интегрирование по частям, получаем равенство

$F[f']=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f'(x)e^{-ixy}dx=\left.f(x)e^{-ixy}\right|_{-\infty}^{+\infty}+iy\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx$ .

Так как $|e^{-ixy}|=1$ , то внеинтегральный член в правой части этого равенства обращается в нуль и, следовательно, справедливо равенство (6).

Если функция $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}$ , а функции $f(x)$ и $xf(x)$ абсолютно интегрируемы на $\mathbb{R}$ , то функция $\hat{f}(y)=F[f]$ имеет на $\mathbb{R}$ непрерывную производную, причем

$\hat{f'}(y)=\frac{d}{dy}(F[f])=F[(-ix)f(x)]$ .

Доказательство. Дифференцируя интеграл (3) по параметру $y$ , получаем равенство

$\frac{d}{dy}(F[f])=\frac{d}{dy}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(-ix)f(x)e^{-ixy}dx.~~~~~(9)$

Обоснование законности дифференцирования под знаком интеграла сводится к проверке условий теоремы 6, 72. Интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(-ix)f(x)e^{-ixy}dx.~~~(9)$ сходится равномерно по параметру $y$ на $\mathbb{R}$ по признаку Вейерштрасса, так как $|(-ix)f(x)e^{-ixy}|~=~|xf(x)|$ , а интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|xf(x)|dx$ сходится.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа.стр.646.

Сказать "Спасибо"

Преобразования Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Комментарии