Рассмотрим уравнение

$L(D)y(x)=e^{\mu x}\cdot P_m(x)~~~~(1)$

где $\mu$ - заданное комплексное число, $P_m(x)$ - заданный многочлен степени $m$ .

Определение. Если число $\mu$ является корнем характеристического уравнения $L(\lambda)=0$ , то говорят, что в уравнении (1) имеет место резонансный случай.

Теорема. Для уравнения (1) существует и единственно решение вида

$y(x)=x^k\cdot Q_m(x)\cdot e^{\mu x}$

где $Q_m(x)$ - многочлен одинаковой с $P_m(x)$ степени $m$ , а число $k$ равно кратности корня $\mu$ характеристического уравнения $L(\lambda)=0$ в резонансном случае и $k=0$ в нерезонансном.

Доказательство. Если $\mu\ne 0$ , то заменой $y=e^{\mu x}\cdot z$ в уравнении (1) всегда можно избавиться от $e^{\mu x}$ в правой части.

$L(D)e^{\mu x}z~=~e^{\mu x}L(D+\mu)z=e^{\mu x}P_m(x)$

Отсюда $L(D+\mu)z~=~P_m(x)$ .

Таким образом доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида

$L(D)y=P_m(x)~~~~~(2)$

a) Нерезонансный случай: $L(0)\ne 0$ . Пусть

$P_m(x)~=~p_0x^m+...+p_m$ , $Q_m(x)~=~q_0x^m+...+q_m$ .

Подставляя $P_m, Q_m$ в уравнениие (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ , получаем линейную алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов $q_0,...,q_m$

$\left\{\begin{array}{lcl}a_nq_0=p_0\\ a_nq_1+a_{n-1}\cdot mq_0=p_1\\ ......\\ a_nq_m=0+...=p_m\end{array} \right.$

Матрица этой системы треугольная с числами $a_n=L(0)\ne 0$ по диагонали,поэтому коэффициенты $Q_m(x)$ определяются однозначно.

б) Резонансный случай: $L(\lambda)~=~\lambda^k(\lambda^{n-k}+a_1\lambda^{n-k-1}+...+a_{n-k})$

Следовательно $L(D)=\left\{\begin{array}{lcl}D^n+a_1D^{n-1}+...+a_{n-k}D^k, k < n\\ D^n, k=n \end{array} \right.$

В случае $k < n$ замена $D^ky=z$ в уравнении (1) приводит к уравнению

$L_1(D)z\equiv (D^{n-k}+...+a_{n-k})z=P_m(x)$

Поскольку $L_1(0)=a_{n-k}\ne 0$ , то для этого уравнения имеет место нерезонансный случай. Следовательно существует, единственное решение этого уравнения $z=R_m(x)$ .

Рассмотрим уравнение

$D^ky=\left\{\begin{array}{lcl}R_m(x), k < n\\ P_m(x), k=n \end{array} \right.$

Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения

$y(0)=y'(0)=...=y^{(k-1)}(0)=0$

получаем единственное решение вида

$y(x)=x^k\cdot Q_m(x)$ .

Сказать "Спасибо"

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью - квазимногочленом.

Комментарии