Рассмотрим линейную неоднородную систему

$y'(x)=A(x)y(x)+f(x),~~~~(1)$

где $x\in[\alpha,\beta]$ - заданная непрерывная на $[\alpha,\beta]$ квадратная матрица порядка $n$ , $f(x)$ - заданная непрерывная на $[\alpha,\beta]$ вектор-функция с $n$ компонентами.

Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое принципом суперпозиции для системы (1).

Лемма. Если $f(x)~=~f_1(x)+f_2(x)$ , $y_1(x)$ - решение системы (1) при условии $f(x)\equiv f_1(x)$ и $y_2(x)$ - решение системы (1) при условии $f(x)\equiv f_2(x)$ , то $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ - решение системы (1).

Если известно какое-либо частное решение (1), то интегрирование линейной неоднородной системы (1) сводится к интегрированию соответствующей (1) линейной однородной системы

$z'(x)~=~A(x)z(x).~~~~~(2)$

Теорема 1. Пусть $y_0(x)$ - некоторое частное решение (1), и $\Phi(x)$ - фундаментальная матрица (2). Тогда все решение системы (1) задаются формулой

$y(x)~=~\Phi(x)c+y_0(x)$ ,

где $c$ - произвольный числовой $n$ -мерный вектор.

Доказательство. В системе (1) сделаем замену

$y(x)~=~z(x)+y_0(x)$ .

Тогда получаем, что $z(x)$ удовлетворяет системе (2). Общее решение системы (2), как установлено в 2, имеет вид

$z(x)=\Phi(x)c,~~~~(3)$

где $c$ - произвольный числовой $n$ -мерный вектор. Из замены следует утверждение теоремы.

Теорема 2. Если $\Phi(x)$ - фундаментальная матрица линейной однородной системы (2), то общее решение линейной неоднородной системы (1) при всех $x\in[\alpha,\beta]$ задается формулой

$y(x)=\Phi(x_0)\cdot d + \Phi(x_0)\cdot\int\limits_{x_0}^{x}\Phi^{-1}(\zeta)f(\zeta)d\zeta,$

где $x_0\in[\alpha,\beta]$ и $d$ - произвольный числовой $n$ - мерный вектор.

Доказательство. Согласно Лагранжу ищем решение (1) в таком же виде (3), что и решение однородной системы (2), но считаем $c$ не постоянным, а непрерывно дифференцируемым вектором $c(x)$ , $x\in[\alpha,\beta]$ :

$y(x)~=~\Phi(x)\cdot c(x)$ .

При таком переходе от $y(x)$ к $c(x)$ потери решений (1) не происходит, так как $\mathrm{det}\Phi(x)\ne 0$ . Ниже будет видно, что такая замена неоднозначна. Функцию $c(x)$ находим подстановкой $y(x)$ в систему (1). Используя формулу производной произведения матрицы и вектор-функции, получаем, что

$\Phi'(x)c(x)+\Phi(x)c'(x)=A(x)\Phi(x)c(x)+f(x)$ .

Поскольку

$\Phi'(x)~=~A(x)\Phi(x)$ , то $\Phi(x)c'(x)~=~f(x)$ . Так как матрица $\Phi(x)$ невырожденная на $[\alpha,\beta]$ , то отсюда $c'(x)=\Phi^{-1}(x)\cdot f(x)$ .

Это уравнение можно интегрировать, поскольку $\Phi^{-1}(x)\cdot f(x)$ - непрерывная вектор-функция на $[\alpha,\beta]$ . Проинтегрировав последнее уравнение, получаем утверждение теоремы.

В.К. Романко Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.стр.167.

Сказать "Спасибо"

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

Комментарии