Пусть $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ - система вектор-функций с $n$ компонентами на $[\alpha,\beta]$ .

Определение. Определителем Вронского системы $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ называется определитель

$W(x)\equiv W[y_1(x),\ldots,y_n(x)]=\mathrm{det}||y_1(x),\ldots,y_n(x)||$ .

Теорема. Пусть $W(x)$ - вронскиан решений $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ системы (1) и пусть $x_0\in[\alpha,\beta]$ . Тогда для $\forall x\in[\alpha,\beta]$ имеет место формула Лиувилля-Остроградского

$W(x)=W(x_0)e^{\int\limits_{x_0}^{x}\mathrm{sp}A(\zeta)d\zeta}$ ,

где $\mathrm{sp}A(\zeta)=a_{11}(\zeta)+\ldots+a_{nn}(\zeta)$ называется следом матрицы $A(\zeta)$ .

Доказательство. Покажем, что $W(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

$W'(x)=\mathrm{sp}A(x)\cdot W(x),~~~~x\in[\alpha,\beta]$ .

Пусть $y_{ij}(x),~i=1,\ldots,n$ компоненты решения $y_j(x),~j=1,\ldots,n$ . Тогда $W(x)$ является функцией всех этих компонент:

$W(x)=W[y_{11}(x),y_{21}(x),\ldots,y_{nn}(x)].$

По формуле производной сложной функции получаем, что

$W'(x)=\sum^{n}_{p,q=1}\frac{\partial W(x)}{\partial y_{pq}(x)}y'_{pq}(x)$ .

Если $W_{pr}(x)$ - алгебраическое дополнение $y_{pr}(x)$ в $W(x)$ , то разложение $W(x)$ по $p$ -й строке дает

$W(x)=\sum^{n}_{r=1}y_{pr}(x)\cdot W_{pr}(x)$ .

Отсюда находим, что

$\frac{\partial W(x)}{\partial y_{pq}}=W_{pq}(x)$ .

Каждая вектор-функция $y_q(x)$ удовлетворяет системе (1), т.е.

$y'_{q}(x)=A(x)y_q(x),~~~q=1,\ldots,n,~~x\in[\alpha,\beta]$ .

Отсюда находим, что

$y'_{pq}(x)=\sum^{n}_{r=1}a_{pr}(x)y_{rq}(x)$ ,

где $a_{pr}(x)$ - элементы матрицы $A(x)$ . Подставляя найденные выражения $\frac{\partial W(x)}{\partial y_{pq}}$ и $y'_{pq}(x)$ в формулу $W'(x)$ , получаем, что

$W'(x)=\sum^{n}_{p,q=1}W_{pq}(x)\sum^{n}_{r=1}a_{pr}(x)y_{rq}(x)=\sum^{n}_{p,r}a_{pr}(x)\sum^{n}_{q=1}y_{rq}(x)W_{pq}(x)$ .

Но из курса алгебры известно, что

$\sum^{n}_{q=1}y_{rq}(x)W_{pq}(x)=W(x)\cdot\delta_{rp}$ ,

где $\delta_{rp}$ - символ Кронекера. Тогда

$W'(x)=W(x)\sum^{n}_{p,r=1}a_{pr}(x)\delta_{pr}=W(x)\sum^{n}_{p=1}a_{pp}(x)=W(x)\cdot\mathrm{sp}A(x)$ .

Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка и дает требуемую формулу (6).

В.К. Романко Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.стр.164.

Сказать "Спасибо"

Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.

Комментарии