Сказать "Спасибо"

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или Лагранжа.

Остаточный член формулы Тейлора

Пусть $\exists f^{(n)}(x_0)$ . Тогда в некоторой окрестности $U(x_0)$ можно написать равенство

$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + r_n(f,x) = P_n(f,x) + r_n(f,x)~~~~(1)$ ,

которое называется формулой Тейлора функции $f$ в точке $x_0$ , где $P_n(f,x)$ называется многочленом Тейлора, а $r_n(f,x)$ - остаточным членом Тейлора (после n-го члена).

Если существует

$\lim_{n\to\infty} r_n(x)=0$ ,

то согласно определению сходимости ряда (1) сходится к функции $f(x)$ в точке $x$ .

Лемма

Пусть $\exists f^{(n)}(x_0),f'$ в $\dot{U}(x_0)$ . Тогда в $\dot{U}(x_0)$

$(r_n(f,x))'~=~r_{n-1}(f',x)$

Доказательство:

$(r_n(f,x))'=(f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k)'=$ $=f'(x)-\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{(k-1)}=r_{n-1}(f',x)$

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть $x>x_0 (x<x_0)$ , $n\in \mathbb{N}_0, f^{(n)}$ непрерывна на отрезке $[x_0,x]([x,x_0])$ , $\exists f^{(n+1)}$ на интервале $(x_0,x)((x,x_0))$ . Тогда справедлива формула (1), в которой

$r_n(f,x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

где $0<\theta<1$ .

Доказательство: будем проводить по индукции, считая $x>x_0$ . При $n=0$ теорема утверждает, что при некотором $\theta \in (0,1)$

$f(x)~=~f(x_0)+f'(x_0+\theta(x-x_0))(x-x_0).$

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при $n-1 (n\geqslant 1)$ и установим, что оно верно и при n. Используя теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности $x > x_0$ )

$\frac{r_n(f,x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{r_n(f,x)-r_n(f,x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-(x_0-x_0)^{n+1}}=$

$=\frac{r_{n-1}(f',\xi)}{(n+1)(\xi-x_0)^n}=\frac{(f')^{(n)}(\eta)}{(n+1)n!}=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1)!},$

где $x_0<\eta<\xi<x$ ,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.

Теорема доказана.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.90.

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $\exists f^{(n)}(x_0)$ . Тогда справедлива формула (1), в которой $r_n(f,x)~=~o((x-x_0)^n)$ при $x \to x_0$ .

Доказательство: будем проводить по индукции:

При $n=1$ утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае $f$ дифференцируема в точке $x_0$ . Следовательно,

$f(x)-f(x_0)~=~f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0).$

Что совпадает с условием теоремы.

Предположим, что утверждение теоремы верно при $n-1 (n\geqslant 1)$ и покажем, что это верно и для n.

Использую теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая для определенности $x > x_0$ ):

$r_n(f,x)~=~r_n(f,x)-r_n(f,x_0)~=~r_{n-1}(f',\xi)(x-x_0),$

где $x_0<\xi<x$ .

По предположению индукции $r_{n-1}(f',\xi)~=~o((\xi-x_0)^{n-1})$ при $\xi \rightarrow x_0$ . Следовательно,

$r_n(f,x)~=~o((x-x_0)^n)$ при $x\to x_0$ .

что и требовалось показать.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.89.