Математическим ожиданием случайной величины $\xi$ , заданной на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathfrak{A}, P)$ , называется число

$M\xi=\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)P(d\omega)$

если интеграл Лебега в правой части равенства существует.

Математическим ожиданием $M\xi$ случайной величины $\xi=\xi(\omega_k)$ , заданной на дискретном вероятностном пространстве с $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n,\cdots\},~P(\omega_k)=p_k,~k=1,\cdots,n,\cdots$ , называется число

$M\xi=\sum^{\infty}_{k=1}\xi(\omega_k)p_k$ ,

если ряд абсолютно сходится.

Если же ряд не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины $\xi$ не существует.

Математическое ожидание $M\xi$ случайной величины $\xi=\xi(u_1, u_2, ... , u_n)$ , заданной на абсолютно непрерывном вероятноствном пространстве $(\Omega, \mathfrak{A}, P)$ , называется число

$\int\cdots\int\limits_{\Omega}\xi(u_1,\cdots,u_n)\pi(u_1,\cdots,u_n)du_1\cdots du_n$ ,

если интеграл абсолютно сходится.

Если интеграл не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины $\xi$ не существует.

В.П. Чистяков Курс теории вероятностей стр.92-93

Свойства математического ожидания.

1. Если $C$ - постоянная, то $MC=C$ .

2. Если $C$ - постоянная, то $M(C\xi)=CM\xi$ .

3. Для любых величин $\xi$

$|M\xi|\leqslant M|\xi|$ .

4. Для любых случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$

$M(\xi_1+\xi_2)=M\xi_1+M\xi_2$ .

Если существует какие-нибудь два из входящих в равенство математических ожиданий, то существует третье математическое ожидание.

5. Если случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы, то $M\xi_1\xi_2=M\xi_1 M\xi_2$ . Из существования любых двух математических ожиданий следует существование третьего математического ожидания.