Теорема. Пусть $\xi=\xi(\omega)\geqslant 0$ при любом $\omega\in \Omega$ . Если $M\xi$ существует, то при любом $\varepsilon>0$

$P(\xi\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{M\xi}{\varepsilon}$ .

Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда $\xi$ задана в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве. По определению математического ожидания имеем

$M\xi=\underset{\Omega}{\int\cdots\int}\xi(u_1,\cdots,u_n)\pi(u_1,\cdots,u_n)du_1\cdots du_n$ .

Пусть

$\Omega_{\varepsilon}=\{(u_1,\cdots,u_n):\xi(u_1,\cdots,u_n)\geqslant \varepsilon\}$

Ведем случайную величину

$\eta=\begin{cases} 0,~(u_1,\cdots,u_n)\in\Omega\setminus\Omega_\varepsilon,\\ \varepsilon,~(u_1,\cdots,u_n)\in\Omega_\varepsilon \end{cases}$

При любом $(u_1,\cdots,u_n)\in\Omega$ имеем $\xi\geqslant\eta$ . Умножим обе части этого неравенства на $\pi(u_1,\cdots,u_n)$ и проинтегрируем по $\Omega$ . Получим, что $M\xi\geqslant M\eta$ . Отсюда следует утверждение теоремы, так как

$M\eta=\varepsilon P(\Omega_\varepsilon)=\varepsilon P(\xi\geqslant \varepsilon)$ .

Неравенство Чебышева. Если случайная величина $\xi$ имеет дисперсию, то при любом $\varepsilon > 0$

$P(|\xi-M\xi|\geqslant \varepsilon)\leqslant \frac{D\xi}{\varepsilon^2}$

Доказательство. Случайная величина $\eta=(\xi-M\xi)^2\geqslant 0$ при всех $\omega\in \Omega$ , и $M\eta=M(\xi-M\xi)^2=D\xi$ конечно. Следовательно можно воспользоваться неравенством

$P(\xi\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{M\xi}{\varepsilon}$ .

Таким образом,

$P(|\xi-M\xi|\geqslant \varepsilon)=P(\eta\geqslant\varepsilon^2)\leqslant\frac{M\eta}{\varepsilon^2}=\frac{D\xi}{\varepsilon^2}$

В.П.Чистяков Курс теории вероятностей.стр.107

Закон больших чисел. Для любой последовательности $\xi_1,\xi_2,\ldots$ попарно независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом $M\xi_1^2<\infty$ имеет место сходимость

$\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}{n}\underset{P}{\longrightarrow}M\xi_1$ .

Доказательство. Обозначим через $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$ сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания

$M\left(\frac{S_n}{n}\right)=M\xi_1$ .

Пусть $\varepsilon >0$ . Воспользуемся неравенством Чебышева:

$M\left(\left|\frac{S_n}{n}-M\left(\frac{S_n}{n}\right)\right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant \frac{D\left(\frac{S_n}{n}\right)}{\varepsilon^2}=\frac{DS_n}{n^2\varepsilon^2}=\frac{D\xi_1+\ldots+D\xi_n}{n^2\varepsilon^2}=$ $=\frac{nD\xi_1}{n^2\varepsilon^2}=\frac{D\xi_1}{n\varepsilon^2}\to 0$ при $n\to\infty$ ,

так как $D(\xi_1)<\infty$ .

В.П.Чистяков Курс теории вероятностей.стр.141

[2] http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node55.html

Сказать "Спасибо"

Неравенство Чебышева и закон больших чисел.

Комментарии