Определение. Говорят, что функция $f~:~B_r(z_0)\to\mathbb{C}$ дифференцируема в точке $z_0\in\mathbb{C}$ , если справедливо представление

$\Delta f=A\cdot\Delta z+\alpha(\Delta z),~\forall~\Delta z~:~0<|\Delta z|<r,~~~~~~(5)$

где $A$ не зависит от $\Delta z$ , а функция $\alpha(\Delta z)$ является $o(\Delta z)$ .

Лемма 1. Функция $f~:~B_r(z_0)\to\mathbb{C}$ дифференцируема в точке $z_0$ тогда и только тогда, когда существует производная $~f'(z_0)$ , причем в формуле число $A~=~f'(z_0)$ .

Доказательство. Распишем определение 1 через действительные и мнимые компоненты чисел и получим утверждение леммы 1.

Теорема 1. Для того, чтобы функция $f~:~B_r(z_0)\to\mathbb{C}$ была дифференцируема в точке $z_0=x_0+iy_0\in\mathbb{C}$ , необходимо и достаточно, чтобы

1) функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ были дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ .

2) в точке $(x_0,y_0)$ были выполнены условия Коши-Римана

$\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0),~~~~ \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0).~~~~(6)$

При этом

$f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)$

Доказательство. Пусть существует производная $f'(z_0)$ , т.е. справедливы выражения

$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\alpha(\Delta z)}{\Delta z}=0,~~~\Delta f=A\cdot \Delta z +\alpha(\Delta z),~~~\forall~\Delta z~:~0<|\Delta z|<r,$

где $A~=~f'(z_0)$ .

Обозначим $A=a+ib,~\alpha(\Delta z)=\alpha_1(\Delta x,\Delta y)+i\alpha_2(\Delta x,\Delta y)$ и распишем (5) через равенства действительных и мнимых частей, т.е.

$\Delta u=a\Delta x-b\Delta y+\alpha_1(\Delta x,\Delta y),$ $\Delta v=b\Delta x+a\Delta y+\alpha_2(\Delta x,\Delta y),$

$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\alpha_1(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\alpha_2(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0,~~~~~(9)$

Откуда равенства (8) означают дифференцируемость по определению функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ , причем

$\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)=a,~~\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)=-b$ $\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)=b,~~\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)=a$

убеждаемся в выполнении условий Коши-Римана.

Достаточность. Пусть функции $u(x_0,y_0),v(x_0,y_0)$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$ и выполнены условия Коши - Римана.

Тогда

$\Delta f~=~\Delta u+i\Delta v=$ $=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+\alpha_1(\Delta x,\Delta y)+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+\alpha_2(\Delta x,\Delta y)\right)=$ $=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+i\Delta y)+ \alpha_1(\Delta x,\Delta y) +i\alpha_2(\Delta x,\Delta y)=A\cdot\Delta z+\alpha(\Delta z)$

Получаем утверждение теоремы.

Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного. стр.19.

Сказать "Спасибо"

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Комментарии