Система Orphus

Система Orphus

old

Пусть функция f(z) дифференцируема в односвзяной области D и пусть простая замкнутая кривая \gamma лежит в D и ориентирована положительно. Тогда для любой точки z, лежащей внутри \gamma, справедлива формула

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta

это формула называется интегральной формулой Коши.

Доказательство. Функция f(\zeta)/(\zeta-z) дифференцируема в области D с выколотой точкой z. Выберем \rho так, чтобы круг |\zeta-z|<\rho вместе с его границей C_{\rho}:|\zeta-z|=\rho лежал внутри \gamma. Тогда используя следствие из интегральной теоремы Коши, получаем

J=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta
=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)-f(z)+f(z)}{\zeta-z}d\zeta=J_1+f(z)\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{ d\zeta }{\zeta-z}

где J_1=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}d\zeta.

Так как \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{ d\zeta }{\zeta-z}=1, то

J=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}d\zeta+f(z)

и поэтому для доказательства достаточно установить, что J_1=0.

В силу непррывности функции f(\zeta) в точке z для любого \varepsilon>0 найдется такое \delta=\delta(\varepsilon)>0, что неравенство |f(\zeta)-f(z_1)|<\varepsilon выполняется при |\zeta-z|<\delta. Следовательно

|J_1|\leqslant\frac{1}{2\pi}\int\limits_{C_\rho}\frac{|f(\zeta)-f(z)|}{|\zeta-z|}|d\zeta|<\frac{1}{2\pi}\frac{\varepsilon}{\rho}\int\limits_{C_\rho}|d\zeta|=\varepsilon,

если \rho\leqslant \delta. Учитывая, что J_1 не зависит от \rho, получаем J_1=0, т.е. J=f(z). Формула доказана.


Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного стр.83


Система Orphus

Комментарии