Пусть функция $f(z)$ дифференцируема в односвзяной области $D$ и пусть простая замкнутая кривая $\gamma$ лежит в $D$ и ориентирована положительно. Тогда для любой точки $z$ , лежащей внутри $\gamma$ , справедлива формула

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$

это формула называется интегральной формулой Коши.

Доказательство. Функция $f(\zeta)/(\zeta-z)$ дифференцируема в области $D$ с выколотой точкой $z$ . Выберем $\rho$ так, чтобы круг $|\zeta-z|<\rho$ вместе с его границей $C_{\rho}:|\zeta-z|=\rho$ лежал внутри $\gamma$ . Тогда используя следствие из интегральной теоремы Коши, получаем

$J=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$ $=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)-f(z)+f(z)}{\zeta-z}d\zeta=J_1+f(z)\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{ d\zeta }{\zeta-z}$

где $J_1=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}d\zeta$ .

Так как $\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{ d\zeta }{\zeta-z}=1$ , то

$J=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{\rho}}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}d\zeta+f(z)$

и поэтому для доказательства достаточно установить, что $J_1=0$ .

В силу непррывности функции $f(\zeta)$ в точке $z$ для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ , что неравенство $|f(\zeta)-f(z_1)|<\varepsilon$ выполняется при $|\zeta-z|<\delta$ . Следовательно

$|J_1|\leqslant\frac{1}{2\pi}\int\limits_{C_\rho}\frac{|f(\zeta)-f(z)|}{|\zeta-z|}|d\zeta|<\frac{1}{2\pi}\frac{\varepsilon}{\rho}\int\limits_{C_\rho}|d\zeta|=\varepsilon$ ,

если $\rho\leqslant \delta$ . Учитывая, что $J_1$ не зависит от $\rho$ , получаем $J_1=0$ , т.е. $J=f(z)$ . Формула доказана.

Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного стр.83

Сказать "Спасибо"

old

Комментарии