Если функция $f$ регулярна в круге $B_{r}(a)$ , где $a\in\mathbb{C},~r>0$ , то она представима в этом круге $B_r(a)$ в виде суммы сходящегося ряда Тейлора, т.е.

$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}c_n(z-a)^n,~~\forall z\in B_r(a)$ ,

где

$c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ .

Доказательство.

Фиксируем произвольную точку $z\in B_r(a)$ . Тогда существует число $r_1>0$ такое, что $|z-a|<r_1<r$ . Пусть $\gamma_{r_1}=\{\zeta~:~|\zeta-a|=r_1\}$ - ориентированная движением против хода часовой стрелки. Запишем интегральную формулу Коши:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{r_1}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$ .

Преобразуем функцию $\zeta\to\frac{1}{\zeta-z}$ , где $\zeta\in\gamma_{r_1}$ , к виду

$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(\zeta-a)-(z-a)}=\frac{1}{(\zeta-a)\left(1-\frac{z-a}{\zeta-a}\right)}$

Получаем разложение в сходящийся ряд

$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta-a}\left(1+\frac{z-a}{\zeta-a}+\left(\frac{z-a}{\zeta-a}\right)^2+\cdots\right)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}$

В итоге подинтегральная функция представима сходящимся на $\gamma_{r_1}$ рядом

$\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}f(\zeta),~~\forall\zeta\in\gamma_{r_1}$ .

Ряд сходится равномерно на окружности $\gamma_{r_1}$ . Поэтому ряд можно почленно интегрировать по окружности $\gamma_{r_1}$ . В результате получаем равенство

$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{r_1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}d\zeta}\cdot (z-a)^n$ .

т.е. степенной ряд вида с коэффициентами

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{r_1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}d\zeta}$

Эти коэффициенты $c_n$ не зависят от выбора точки $z$ или окружности $\gamma_{r_1}$ , так как воспользовавшись формулой для производной получаем для $c_n$ необходимую формулу.

Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного стр.48

Сказать "Спасибо"

Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.

Комментарии