Вычеты.

Определение 1. Пусть $a\in\mathbb{C}$ - изолированная особая точка регулярной функции $f~:~\overset{o}{B}_{\rho}(a)\to\mathbb{C},~\rho>0$ . Пусть $\gamma_r=\{z~:~|z-a|=r\}$ - положительно ориетированная окружность, причем $0<r<\rho$ . Тогда вычетом функции $f$ в точке $a$ называется число

$\underset{a}{\mathrm{res}}f=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_r}f(z)dz~~~(1)$

Для получения более удобных выражений вычисления вычета функции, представим функцию $f~:~\underset{o}{B}_{\rho}\to\mathbb{C}$ её рядом Лорана с центром в точке $a$

$f(z)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}c_n(z-a)^{n}$ .

Получаем, что интеграл (1) равен коэффициенту $c_{-1}$ .

Определение 2. Пусть функция $f~:~\overset{o}B_{R_0}(\infty)\to\mathbb{C}$ регулярна. Тогда вычетом функции $f$ в бесконечности называется число

$\underset{\infty}{\mathrm{res}}f=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{R^{-1}}}f(z)dz$

Удобно записывать в виде

$\underset{\infty}{\mathrm{res}}f=-c_{-1}$

Лемма 1. Пусть $a$ - полюс функции $f$ порядка $m\leqslant m_0$ . Тогда справедлива формула

$\underset{a}{\mathrm{res}}f=\frac{1}{(m_0-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m_0-1}}{dz^{m_0-1}}[(z-a)^{m_0}f(z)]$

Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного.стр.75.

Сказать "Спасибо"

Вычеты.

Комментарии