Теорема о равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте.

Теорема (Кантор). Пусть $E \subset \mathbb{R}^n$ - компакт , и функция $f$ непрерывна на $E$ . Тогда $f$ равномерно непрерывна на $E$ .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, т.е. что существует функция $f$ , непрерывная, но не равномерно непрерывная на $E$ . Тогда

$\exists \varepsilon_0 \geqslant 0 ~\forall \delta > 0 ~\exists x,y \in E ~:~ |x-y|<\delta, |f(x)-f(y)|\geqslant \varepsilon_0$ .

Будем брать в качестве $\delta_m=\frac{1}{m}$ и соответствующую пару точек $x,y$ обозначать через $x^{(m)}, y^{(m)}$ .

Тогда имеем

$x^{(m)}, y^{(m)} \in E,~|x^{(m)}-y^{(m)}|<\frac{1}{m}$ ,

$|f(x^{(m)})-f(y^{(m)})|\geqslant \varepsilon_0>0$

Выделим из последовательности $\{x^{(m)}\}$ сходящуюся подпоследовательность $\{x^{(m_k)}\}^{\infty}_{k=1}$ , $\lim_{k \to \infty} x^{(m_k)}=x^{(0)}$ , что возможно в силу ограниченности $\{x^{(m)}\}$ по теореме Больцано-Вейерштрасса. Тогда из $|x^{(m)}-y^{(m)}|<\frac{1}{m}$ следует, что $\lim_{k \to \infty} y^{(m_k)} = x^{(0)}$ . Точка $x^{(0)} \in E$ , так как $E$ замкнуто. В силу непрерывности $f$ в точке $x^{(0)}$ по множеству $E$ имеем

$f(x^{(m_k)}) \to f(x^{(0)}), f(y^{(m_k)}) \to f(x^{(0)})$ при $k \to \infty$

а это противоречит тому, что

$|f(x^{(m_k)})-f(y^{(m_k)})| \ge \varepsilon_0 >0 ~\forall k \in \N.$

Теорема доказана

Сказать "Спасибо"

Теорема о равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте.

Комментарии