Рассмотрим смешанную задачу для полуограниченной струны

$u_{tt}(x,t)=a^2u_{xx}(x,t),~~x>0,~t>0$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_0(x),~u_t(x,0)=u_1(x)$

и граничными условиями первого рода

$u(0,t)=v(t)$

для определенности будем считать, что $a>0$ . Потребуем следующую гладкость кравевых и начальных данных: $u_0\in C^2[0;\infty)$ , $u_1\in C^1[0;\infty)$ и $v\in[0;\infty)$ . Условия согласования:

$u_0(0)=v(0),~v'(0)=u_1(0),~v''(0)=a^2 u''_0(0)$ .

Согласно формуле Даламбера справедливо следующее представление для решения $u(x,t)$ в области $G_1=\{(x,t)~:~0<at<x\}~:~u(x,t)=I_1(x-at)+J_1(x+at)$ ; в области $G_2=\{(x,t)~:~0<x<at\}~:~u(x,t)=I_2(x-at)+J_2(x+at)$ , где $I_1,~I_2,~J_1,~J_2$ - неизвестные дважды непрерывно дифференцируемые функции. В области $G_1$ для определения функций $I_1$ и $J_1$ достаточно начальных условий. Для определения функций $I_2$ и $J_2$ есть два условия: условие непрерывности решения $u$ на характеристике $x=at$ и граничное условие, то есть

$\Bigg\{\begin{matrix} I_2(0)+J_2(2at)=I_1(0)+J_1(2at)\\ I_2(-at)+J_2(at)=v(t) \end{matrix}$

Формально решение системы дает следующий результат

$J_2(\varepsilon)=J_1(\varepsilon)+C_1,~I_2(\varepsilon)=-J_1(-\varepsilon)+v(-\frac{\varepsilon}{a})-C$

где $C$ - произвольная константа. Следовательно, для $(x,t)\in G_2$ справедливо представление

$u(x,t)=J_2(x+at)+I_2(x-at)=J_1(x+at)-J_1(at-x)+v(t-\frac{x}{a})$ .

На практике удобнее для точек $(x,t)$ из области $G_1$ выписать формулу Даламбера, тогда первое уравнение в системе можно заменить следующим:

$I_2(0)+J_2(2at)=u(x,t)|_{x=at}$ ,

откуда

$u(x,t)=\Bigg\{\begin{matrix} \frac{1}{2}(u_0(x+at)+u_0(x-at))+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}u_1(\varepsilon)d\varepsilon,~~x\geqslant at\\ v\left(t-\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{2}(u_0(at+x)-u_0(at-x))+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}u_1(\varepsilon)d\varepsilon,~~x\leqslant at \end{matrix}$

Сказать "Спасибо"

Представление решения.

Комментарии