Система Orphus

Система Orphus

Представление решения.

Рассмотрим смешанную задачу для полуограниченной струны

u_{tt}(x,t)=a^2u_{xx}(x,t),~~x>0,~t>0

с начальными условиями

u(x,0)=u_0(x),~u_t(x,0)=u_1(x)

и граничными условиями первого рода

u(0,t)=v(t)

для определенности будем считать, что a>0. Потребуем следующую гладкость кравевых и начальных данных: u_0\in C^2[0;\infty), u_1\in C^1[0;\infty) и v\in[0;\infty). Условия согласования:

u_0(0)=v(0),~v'(0)=u_1(0),~v''(0)=a^2 u''_0(0).

Согласно формуле Даламбера справедливо следующее представление для решения u(x,t) в области G_1=\{(x,t)~:~0<at<x\}~:~u(x,t)=I_1(x-at)+J_1(x+at); в области G_2=\{(x,t)~:~0<x<at\}~:~u(x,t)=I_2(x-at)+J_2(x+at), где I_1,~I_2,~J_1,~J_2 - неизвестные дважды непрерывно дифференцируемые функции. В области G_1 для определения функций I_1 и J_1 достаточно начальных условий. Для определения функций I_2 и J_2 есть два условия: условие непрерывности решения u на характеристике x=at и граничное условие, то есть

\Bigg\{\begin{matrix}
 I_2(0)+J_2(2at)=I_1(0)+J_1(2at)\\
I_2(-at)+J_2(at)=v(t)
\end{matrix}

Формально решение системы дает следующий результат

J_2(\varepsilon)=J_1(\varepsilon)+C_1,~I_2(\varepsilon)=-J_1(-\varepsilon)+v(-\frac{\varepsilon}{a})-C

где C - произвольная константа. Следовательно, для (x,t)\in G_2 справедливо представление

u(x,t)=J_2(x+at)+I_2(x-at)=J_1(x+at)-J_1(at-x)+v(t-\frac{x}{a}).

На практике удобнее для точек (x,t) из области G_1 выписать формулу Даламбера, тогда первое уравнение в системе можно заменить следующим:

I_2(0)+J_2(2at)=u(x,t)|_{x=at},

откуда

u(x,t)=\Bigg\{\begin{matrix}
 \frac{1}{2}(u_0(x+at)+u_0(x-at))+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}u_1(\varepsilon)d\varepsilon,~~x\geqslant at\\
v\left(t-\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{2}(u_0(at+x)-u_0(at-x))+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}u_1(\varepsilon)d\varepsilon,~~x\leqslant at
\end{matrix}

Система Orphus

Комментарии