Пусть $D$ - ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ с кусочно гладкой границей $\partial D$ , обозначим: $n$ - внешняя единичня нормаль к $\partial D$

Теорема 4 (первая формула Грина).

Если функции $u(x)$ и $v(x)$ принадлежат классам $C^1(\bar{D})$ и $C^2(D)\cap C^1(\bar{D})$ соответственно, то выполняется равенство

$\int\limits_{D}u\Delta vdx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}dx+\int\limits_{\partial D}u\frac{\partial v}{\partial n}ds$

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим произвольную область $\tilde{D}$ с кусочно гладкой границей $\partial\tilde{D}$ такую, что $\bar{\tilde{D}}\subset D$ . Запишем для векторной функции $P=u\mathrm{grad} v$ и в области $\tilde{D}$ формулу Остроградского-Гаусса:

$\int\limits_{D}\mathrm{div} Pdx=\int\limits_{\partial D}\sum^{n}_{i=1}P^{i}n^{i}ds$

Учтем, что $\mathrm{div}P=u\Delta v+\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}$ и $\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial v}{\partial x^{i}}n^{i}=\frac{\partial v}{\partial n}$ . Получаем

$\int\limits_{D}u\Delta vdx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}dx+\int\limits_{\partial D}u\frac{\partial v}{\partial n}ds$

Все подынтегральные функции в последнем равенстве по условию интегрируемы в области $D$ , что позволяет сделать предельный переход, устремляя $\tilde{D}$ к $D$ .

Теорема 5 (вторая формула Грина).

Если функции $u(x)$ и $v(x)$ принадлежат классу $C^2(D)\cap C^1(\bar{D})$ , причем $\Delta u, \Delta v \in L_1(D)$ , то справедлива формула

$\int\limits_{D}(u\Delta v-v\Delta u)dx=\int\limits_{\partial D}\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)ds$ .

Доказательство теоремы 5. Поменяем в первой формуле Грина местами функции $u$ и $v$ :

$\int\limits_{D}v\Delta udx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}dx+\int\limits_{\partial D}v\frac{\partial u}{\partial n}ds$

вычитая данное равенство из первого получаем вторую формулу Грина.

Теорема 6 (третья формула Грина).

Если функция $u(x)$ принадлежит классу $C^2(D)\cap C^1(\bar{D}),$ , причем $\Delta u\in L_1(D)$ , то справедлива формула

$\int\limits_{D}u\Delta udx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\left(\frac{\partial u}{\partial x^i}\right)^2dx+\int\limits_{\partial D}u\frac{\partial u}{\partial n}ds$

Доказательство теоремы 6. Достаточно в первой формуле Грина положить $v=u$ .

Сказать "Спасибо"

Формулы Грина для оператора Лапласа.

Комментарии