Уроев (130-131) 7 66

Применим метод Фурье к смешанной задаче для уравнения теплопроводности на отрезке.

Рассмотрим в прямоугольной области $G=(0,l)\times(0,T)$ смешанную задачу для уравнения теплопроводности

$u_t(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)=f(x,t),~(x,t)\in G$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_0(x)$

и однородными граничным условием первого рода

$u(0,t)=u(l,t)=0$ .

Необходимо найти решение $u(x,t)$ из класса $C_{x,t}^{2,1}(G)\cap C(\bar{G})$

Будем искать решение $u(x,t)$ в виде функционального ряда по собственным функциям

$X_k(x)=\sin\frac{\pi k}{l}x,~k\in\mathbb{N}$

дифференциального оператора

$-\frac{d^2}{dx^2}$

с граничными условиями

$X_k(0)=X_k(l)=0:$ $u(x,t)\sim\sum^{\infty}_{k=1}T_k(t)X_k(x)\equiv \sum^{\infty}_{k=1}T_k(t)\sin\frac{\pi k}{l}x$ ,

где $T_k(t), k\in\mathbb{N}$ - неизвестные функции переменной $t\in[0;T]$ .

Найдем $T_k(t),~k\in\mathbb{N}$ .

Пусть функция $u_0(x)$ принадлежит классу $C[0;l]$ , существует кусочно непрерывная на отрезке $[0;l]$ производная $u'_0(x)$ , и выполнены условия соглаcования $u_0(0)=u_0(l)=0$ . Тогда ряд Фурье функции $u_0(x)$ сходится равномерно к ней самой:

$u_0(x)=\sum^{\infty}_{k=1}a_k\sin\frac{\pi k}{l}x$ ,

где $a_k=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}u_0(x)\sin\frac{\pi k x}{l}dx$ .

Аналогично для функции $f(x,t)$ предпологаем, что она раскладывается в равномерно сходящийся по $x$ ряд Фурье

$f(x,t)=\sum^{\infty}_{k=1}B_k(t)\sin\frac{\pi k}{l}x$

Подставляя эти разложения в начальную задачу, получаем

$\sum^{\infty}_{k=1}T'_k(t)X_k(x)+a^2\sum^{\infty}_{k=1}\lambda_k T_k(t) X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}B_k(t)X_k(x),(x,t)\in G$ , $\sum^{\infty}_{k=1}T_k(0)X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}a_k X_k(x),~~x\in[0,l]$

Потребуем почленное выполнение написанных равенств:

$T'_k(t)+a^2\lambda_k T_k(t)=B_k(t),~T_k(0)=a_k,~k\in\mathbb{N}$

Решая для каждого натурального числа $k$ , задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка, находим

$T_k(t)=a_k\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2 t)+\int\limits_{0}^{t}B_k(\tau)\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau$ .

Итак, формально построили ряд

$\sum^{\infty}_{k=1}\left[a_k\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2 t)+\int\limits_{0}^{t}B_k(\tau)\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau\right]\sin\frac{\pi k}{l}x$ .

Сказать "Спасибо"

Метод Фурье решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на конечном отрезке.

Комментарии