Система Orphus

Система Orphus

Метод Фурье решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на конечном отрезке.

Уроев (130-131) 7 66

Применим метод Фурье к смешанной задаче для уравнения теплопроводности на отрезке.

Рассмотрим в прямоугольной области G=(0,l)\times(0,T) смешанную задачу для уравнения теплопроводности

u_t(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)=f(x,t),~(x,t)\in G

с начальными условиями

u(x,0)=u_0(x)

и однородными граничным условием первого рода

u(0,t)=u(l,t)=0.

Необходимо найти решение u(x,t) из класса C_{x,t}^{2,1}(G)\cap C(\bar{G})

Будем искать решение u(x,t) в виде функционального ряда по собственным функциям

X_k(x)=\sin\frac{\pi k}{l}x,~k\in\mathbb{N}

дифференциального оператора

-\frac{d^2}{dx^2}

с граничными условиями

X_k(0)=X_k(l)=0:
u(x,t)\sim\sum^{\infty}_{k=1}T_k(t)X_k(x)\equiv \sum^{\infty}_{k=1}T_k(t)\sin\frac{\pi k}{l}x,

где T_k(t), k\in\mathbb{N} - неизвестные функции переменной t\in[0;T].

Найдем T_k(t),~k\in\mathbb{N}.

Пусть функция u_0(x) принадлежит классу C[0;l], существует кусочно непрерывная на отрезке [0;l] производная u'_0(x), и выполнены условия соглаcования u_0(0)=u_0(l)=0. Тогда ряд Фурье функции u_0(x) сходится равномерно к ней самой:

u_0(x)=\sum^{\infty}_{k=1}a_k\sin\frac{\pi k}{l}x,

где a_k=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}u_0(x)\sin\frac{\pi k x}{l}dx.

Аналогично для функции f(x,t) предпологаем, что она раскладывается в равномерно сходящийся по x ряд Фурье

f(x,t)=\sum^{\infty}_{k=1}B_k(t)\sin\frac{\pi  k}{l}x

Подставляя эти разложения в начальную задачу, получаем

\sum^{\infty}_{k=1}T'_k(t)X_k(x)+a^2\sum^{\infty}_{k=1}\lambda_k T_k(t) X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}B_k(t)X_k(x),(x,t)\in G,
\sum^{\infty}_{k=1}T_k(0)X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}a_k X_k(x),~~x\in[0,l]

Потребуем почленное выполнение написанных равенств:

T'_k(t)+a^2\lambda_k T_k(t)=B_k(t),~T_k(0)=a_k,~k\in\mathbb{N}

Решая для каждого натурального числа k, задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка, находим

T_k(t)=a_k\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2 t)+\int\limits_{0}^{t}B_k(\tau)\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau.

Итак, формально построили ряд

\sum^{\infty}_{k=1}\left[a_k\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2 t)+\int\limits_{0}^{t}B_k(\tau)\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau\right]\sin\frac{\pi k}{l}x.

Система Orphus

Комментарии