Система Orphus

Система Orphus

Сходимость рядов Фурье.

\sum^{\infty}_{k=1}\left[a_k\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2 t)+\int\limits_{0}^{t}B_k(\tau)\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau\right]\sin\frac{\pi k}{l}x

покажем, что функциональный ряд сходится равномерно, для этого оценим k-й член следующим образом:

\sup_{(x,t)\in\bar{G}}|T_k(t)X_k(x)|\leqslant\sup_{t\in[0;T]}|T_k(t)|\leqslant\sup_{ t\in[0;T] }\left|\int\limits_{0}^{t}B_k(\tau)\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau\right|+|a_k|\leqslant
\leqslant\sup_{ t\in[0;T] }|B_k(t)|\cdot \sup_{ t\in[0;T] }\int\limits_{0}^{t}\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t-\tau))d\tau+|a_k|\leqslant
\leqslant|a_k|+C_1 \sup_{ t\in[0;T] }\frac{1}{a^2\lambda_k}(1-\mathrm{exp}(-\lambda_k a^2(t))\leqslant |a_k|+\frac{C_1}{a^2\lambda_k}

Система Orphus

Комментарии