7 41

Рассмотрим в прямоугольной области $G=(0;l)\times(0;T)$ смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке

$\tilde{u}_{tt}(x,t)-a^2 \tilde{u}_{xx}(x,t)=\tilde{f}(x,t)~~(x,t)\in G$

с начальными условиями

$\tilde(u)(x,0)=\tilde{u}_0(x),~~\tilde{u}_t(x,0)=\tilde{u}_t (x)$

и граничными условиями первого рода

$\tilde{u}(0,t)=\mu(t),~~\tilde{u}(l,t)=v(t)$ .

Необходимо найти решение поставленной задачи из класса $C^2(G)\cap C^1 (\bar{G})$ .

Прежде всего, сведем задачу к смешанной задаче с однородными граничными условиями. Для простоты будем предполагать, что $\mu,v\in C^2[0;T]$ , тогда произведя замену

$u(x,t)=\tilde{u}(x,t)-v(t)-\frac{v(t)-\mu(t)}{l}(x-l)$ ,

получаем смешанную задачу с однородными граничными условиями

$u_{tt}(x,t)-a^2u_{xx}(x,t)=f(x,t),~~(x,t)\in G$ , $u(x,0)=u_0(x),~~u_t(x,0)=u_1(x)$ , $u(0,t)=0,~~u(l,t)=0$ .

Здесь $f,u_0$ и $u_1$ - преобразованные функции.

Решение $u(x,t)$ имеет смысл искать в виде функционального ряда

$\sum^{\infty}_{k=1}T_k(t)X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}T_k(t)\sin\frac{\pi k}{l}x,~~k\in\mathbb{N}$ .

Раскладывая каждую функцию в ряд Фурье, и подставляя в начальные условия задачи получаем

$\sum^{\infty}_{k=1}T''_k(t)X_k(x)+a^2\sum^{\infty}_{k=1}\lambda_k T_k(t)X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}B_k(t)X_k(x),~~(x,t)\in G$ , $\sum^{\infty}_{k=1}T_k(0)X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}a_k X_k(x),~~x\in [0,l]$ $\sum^{\infty}_{k=1}T'_k(0)X_k(x)=\sum^{\infty}_{k=1}b_k X_k(x),~~x\in[0,l]$

Потребуем почленное выполнение равенств

$T''_k(t)+a^2 \lambda_k T_k(t)=B_k(t)$ ,

$T_k(0)=a_k,~~T'_k(0)=b_k$ .

Решая это уравнение для каждого $k$ , получаем

$T_k(t)=a_k\cos\frac{\pi a k}{l}t+b_k\frac{l}{\pi a k}\sin\frac{\pi a k}{l}t+\frac{l}{\pi a k}\int\limits_{0}^{t}B_k(\varepsilon)\sin\frac{\pi a k}{l}(t-\varepsilon)d\varepsilon$

Сказать "Спасибо"

Метод Фурье решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на конечном отрезке.

Комментарии