Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области.

Если существует решение внутренней задачи Дирихле в классе функций $C^2(D)\cap C(\bar{D})$ , то оно единственно в этом классе и непрерывно зависит от граничных данных $u_0$ в равномерной метрике.

Доказательство.

Единственность. Пусть $\tilde{u}(x)$ и $\hat{u}(x)$ - два решения внутренней задачи Дирихле, отвечающие одним и тем же граничным условиям. Рассмотрим их разность

$u(x)=\tilde{u}(x)-\hat{u}(x)$ .

Она принадлежит классу $C^2(D)\cap C(\bar{D})$ и удовлетворяет в $D$ уравнению Лапласа и однородным граничным условиям. Следовательно, для $u(x)$ можно воспользоваться принципом максимума и его следствием:

$\max_{x\in\bar{D}}u(x)=0,~~\min_{x\in\bar{D}}=0,$

или

$\tilde{u}(x)=\hat{u}(x)$ ,

что и требовалось доказать.

Сказать "Спасибо"

Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области.

Комментарии