Система Orphus

Система Orphus

Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области.

Если существует решение внутренней задачи Дирихле в классе функций C^2(D)\cap C(\bar{D}), то оно единственно в этом классе и непрерывно зависит от граничных данных u_0 в равномерной метрике.

Доказательство.

Единственность. Пусть \tilde{u}(x) и \hat{u}(x) - два решения внутренней задачи Дирихле, отвечающие одним и тем же граничным условиям. Рассмотрим их разность

u(x)=\tilde{u}(x)-\hat{u}(x).

Она принадлежит классу C^2(D)\cap C(\bar{D}) и удовлетворяет в D уравнению Лапласа и однородным граничным условиям. Следовательно, для u(x) можно воспользоваться принципом максимума и его следствием:

\max_{x\in\bar{D}}u(x)=0,~~\min_{x\in\bar{D}}=0,

или

\tilde{u}(x)=\hat{u}(x),

что и требовалось доказать.


Система Orphus

Комментарии