Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области $D=\left\{x=(x^1,x^2):~|x|<R\right\}$

$\Delta u(x)=0,~~x\in D$

с граничными условиями первого рода

$u(x)=u_0(x),~~x\in \partial D$

Необходимо найти решение $u(x)$ из класса $C^2(D)\cap C(\bar{D})$ .

Будем считать, что $u_0\in C^1(\partial D)$

Решение. Перейдем к полярным координатам $(r,\varphi)$ :

$x=(r\cos\varphi,~r\sin\varphi),~~r\geqslant 0$ .

Получаем

$r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}w(r,\varphi)\right)+\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}w(r,\varphi)=0,~~r\in[0;R)$ , $w(R,\varphi)=w_0(\varphi)$ .

Здесь $w(r,\varphi)=u(x(r,\varphi)),~w_0(\varphi)=u_0(x(R,\varphi))$ . Из гладкости функции $u_0(x)$ вытекает, что функция $w_0(\varphi)$ принадлежит классу $C^1$ и является $2\pi$ - периодической.

Будем искать решение $w(r,\varphi)$ , в виде функционального ряда

$w(r,\varphi)\sim\sum_{\lambda}Z_{\lambda}(r)\Phi_\lambda(\varphi)$ ,

где $\Phi_{\lambda}(\varphi)$ - $2\pi$ - периодичные собственные функции оператора $-\frac{d^2}{d\varphi^2}$ , ортогональные друг другу.

Соответствующие линейно независимые собственные функции можно выбрать следующим образом:

$\Phi_0(\varphi)$ для $n=0$ ,

$\Phi_n(\varphi)=\cos n\varphi,~~\tilde{\Phi}_n(\varphi)=\sin n\varphi$ для $n\in\mathbb{N}$ .

Таким образом, ищем решение задачи в виде ряда

$w\sim\sum_{\lambda}Z_{\lambda}(r)\Phi_{\lambda}(\varphi)=Z_0(r)+\sum^{\infty}_{n=1}\left[Z_n(r)\cos n\varphi+\tilde{Z}_n(r)\sin n\varphi\right].$

Из выше перечисленных свойств функции $w_0(\varphi)$ следует, что её ряд Фурье по ортогональной системе $\left\{1,\cos\varphi,\sin\varphi,\dots\right\}$ сходится равномерно к ней самой:

$w_0(\varphi)=\sum_{\lambda}a_{\lambda}\Phi_{\lambda}(\varphi)\equiv a_0+\sum^{\infty}_{n=1}\left[a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi\right]$ ,

где $a_0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w_0(\varphi)d\varphi$ , $a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w_0\cos n\varphi(\varphi)d\varphi$ и $b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w_0\sin n\varphi(\varphi)d\varphi$ $n\in \mathbb{N}$ - коэффициенты Фурье.

Формально подставим ряды в начальные соотношения, потребовав почленного выполнения получающихся равенств:

$r^2 Z''_{\lambda}(r)+rZ'_{\lambda}(r)-\lambda^2 Z_{\lambda}(r)=0$ , $Z_{\lambda}=a_{\lambda}$

Эти соотношения необходимо дополнить условиями

$|Z_{\lambda}(0)|<\infty$

которые вытекают из непрерывности решения $u(x)$ в нуле.

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями Эйлера, поэтому существует решение вида $Z_{\lambda}(r)=r^{\alpha}, \lambda=n^2$ . Подставляя в уравнение, получаем

$\alpha(\alpha-1)+\alpha-n^2=0$ ,

откуда $\alpha=\pm n$ . Для $\lambda=n^2>0$ , таким образом,найдено два линейно независимых решения: $r^{n}$ и $r^{-n}$ , так что общее решение имеет вид

$Z_{\lambda}(r)=C_{\lambda,1}r^n+C_{\lambda,2}r^{-n}$ ,

где $C_{\lambda,1},C_{\lambda,2}$ - постоянные.

Учитывая условия, получаем

$Z_{\lambda}(r)=a_{\lambda}\left(\frac{r}{R}\right)^n,~~\lambda=n^2$ .

Следовательно

$w\sim a_0+\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{r}{R}\right)^n[a_n\cos n\varphi+b_n \sin n\varphi]$

Сказать "Спасибо"

Метод Фурье решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

Комментарии