Потенциал простого слоя.

Предположим, что на поверхности $S$ распределена с поверхностной плотностью $\bar{\rho}(\varepsilon)$ некоторая масса (заряд). Потенциал поля, образованного рассматриваемым распределением массы(заряда), с точностью до множителя равен интегралу

$\bar{U}(x)\equiv\iint\limits_{S}\frac{\bar{\rho}}{r}dS_{\varepsilon}~~(r\equiv|x-\varepsilon|)$

получившему название потенциала простого слоя. Плотность $\bar{\rho}(\varepsilon)$ называют плотностью простого слоя.

Потенциал двойного слоя.

Предположим теперь, что на поверхности $S$ распределен слой диполей с осями,, направленными вдоль внешних нормалей $n$ к поверхности $S$ . Дипольный момент элемента $dS_{\varepsilon}$ поверхности положим равным $\hat{\rho}(\varepsilon)dS_{\varepsilon}$ . В силу формулы

$U^{(1)}(x)=-p_1\frac{\partial}{\partial r_1}\left(\frac{1}{R}\right)$ ,

ньютоновский потенциал поля в точке $x$ , образованного диполями на элементе $dS_\varepsilon$ , равен $\hat{\rho}\frac{d}{dn}\left(\frac{1}{r}\right)$ , где $r$ - расстояние между точками $\varepsilon$ и $x$ . Отсюда ясно, что потенциал поля, образованного рассматриваемым распределением диполей, может быть охарактеризован интегралом

$\hat{U}(x)\equiv\iint_{S}\hat{\rho}\frac{d}{dn}\left(\frac{1}{r}\right)dS_{\varepsilon}$ ,

получившим название потенциала двойного слоя. Функцию $\hat{\rho}$ называют плотностью двойного слоя.

Теорема.

Для любой непрерывной функции $\varphi,~|x|=R$ , решение задачи

$\Delta u=0,~~|x|<R$ , $u|_{|x|=R}=\varphi$ ,

существует и задается формулой

$u(x)=\int\limits_{|y|=R}P(x,y)\varphi(y)dS_y,~~|x|<R$ .

Доказательство.

Доказывать теорему будем в случае $n=3$ . Прежде всего установим, что $u(x)\in C^2(|x|<R)$ и является в шаре $\{|x|<R\}$ гармонической функцией. Для этого ядро Пуассона представим в виде

$P(x,y)=\frac{R^2-|(x-y)+y|^2}{4\pi R|x-y|^3}=\frac{R^2-|x-y|^2-|y|^2-2(x-y,y)}{4\pi R|x-y|^3}=$ $-\frac{1}{4\pi R|x-y|}-\frac{1}{2\pi R}\frac{(x-y,y)}{|x-y|^3},~|x|<R,~|y|=R$ .

так как для $|y|=R,~|x|<R$ ,

$\frac{(x-y,y)}{|x-y|^3}=R\left(\mathcal{5}_y \frac{1}{|x-y|}, \frac{y}{R} \right)=R\frac{\partial}{\partial v_y}\left(\frac{1}{|x-y|}\right)$

(ведь вектор $y/R$ есть вектор внешней единичной нормали к сфере $\{|y|=R\}$ ), то

$P(x,y)=-\frac{1}{4\pi R|x-y|}-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial v_y}\left(\frac{1}{|x-y|}\right),~|x|<R,~|y|=R$

и, следовательно, формулу (4.32) можно переписать в виде

$u(x)=-\frac{1}{4\pi R}\int\limits_{|y|=R}\frac{\varphi(y)}{|x-y|}dS_y-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{|y|=R}\varphi(y)\frac{\partial}{\partial v_y}\left(\frac{1}{|x-y|}\right)dS_y,~~|x|<R$ .

последняя формула показывает, что функция $u(x)$ является суммой потенциалов простого и двойного слоев.

$v(x)=1/|x-\varepsilon|$ (если бы мы рассматривали случай $n\ne 3$ , то в качестве $v(x)$ следовало бы взять функцию $1/|x-\varepsilon|^{n-2}$ при $n\ne 2$ и $\ln |x-\varepsilon|$ при $n=2$ ).

Сказать "Спасибо"

Представление решений уравнения Пуассона через потенциалы простого и двойного слоя.

Комментарии